Е.А. Барабанов, В.В. Быков. Описание линейного эффекта Перрона при параметрических возмущениях, экспоненциально убывающих к нулю на бесконечности ... С. 31-43

УДК 517.926.4

MSC: 34D08, 34D10

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-31-43

Пусть ${\cal M}_n$ - множество линейных дифференциальных систем порядка $n$ с непрерывными и ограниченными на временн$\acute{\mathrm{о}}$й полуоси $\mathbb{R}_+$ коэффициентами, $n\geqslant 2.$ Показатели Ляпунова системы $A\in {\cal M}_n$ обозначаются через $\lambda_1(A)\leqslant\ldots\leqslant \lambda_n(A),$ их спектр - через $\Lambda(A)=(\lambda_1(A),\ldots,\lambda_n(A))$  и  ее индекс экспоненциальной устойчивости (размерность линейного подпространства решений с отрицательными характеристическими показателями) - через ${\rm es}(A)$ . Для системы $A\in {\cal M}_n$ и метрического пространства $M$ рассматривается класс ${\cal E}_n[A](M)$ непрерывных по совокупности переменных $(n\times n)$-матричнозначных функций $Q\colon \mathbb{R}_+\times M\to \mathbb{R}^{n\times n},$ удовлетворяющих оценке $\|Q(t,\mu)\|\leqslant C_Q\exp(-\sigma_Qt)$ для всех $(t,\mu)\in\mathbb{R}_+\times M,$ где $C_Q$ и $\sigma_Q$ - положительные постоянные (свои для каждой функции $Q$), и таких, что показатели Ляпунова системы $A+Q,$ являющиеся функциями $\mu\in M$ и обозначаемые через $\lambda_1(\mu;A+Q)\leqslant\ldots\leqslant \lambda_n(\mu;A+Q),$ не меньше соответствующих показателей Ляпунова системы $A,$ т. е. $\lambda_k(\mu;A+Q)\geqslant \lambda_k(A),$ $k=\overline{1,n},$ для любого $\mu\in M.$ Ставится задача полного описания для каждых $n\in\mathbb{N}$ и метрического пространства $M$ класса пар $\bigl(\Lambda(A),\Lambda(\cdot\,;A+Q)\bigr),$ составленных из спектра $\Lambda(A)\in\mathbb{R}^n$ системы $A\in {\cal M}_n$ и  из спектра $\Lambda(\cdot\,;A+Q)\colon M\to \mathbb{R}^n$ семейства $A+Q,$ когда $A$ пробегает множество ${\cal M}_n,$ а матричнозначная функция~$Q$ при каждом $A$ - класс ${\cal E}_n[A](M),$ т.\,е. класса $\Pi {\cal E}_n(M)=\{\bigl(\Lambda(A),\Lambda(\cdot\,;A+Q)\bigr)\,\vert\, A\in {\cal M}_{n},\,Q\in {\cal E}_n[A](M)\}.$ Решение задачи дает следующее утверждение: для любых натурального $n\geqslant 2$ и метрического пространства $M$ пара $\bigl(l,F(\cdot)\bigr),$ где $l=(l_1,\ldots,l_n)\in\mathbb{R}^n$ и $F(\cdot)=(f_1(\cdot),\ldots,f_n(\cdot))\colon M\to \mathbb{R}^n,$ тогда и только тогда принадлежит классу $\Pi {\cal E}_n(M),$ когда выполняются  четыре условия: 1) $l_1\leqslant \ldots \leqslant l_n,$ 2) $f_1(\mu)\leqslant \ldots \leqslant f_n(\mu)$ для любого $\mu\in M,$ 3)~$f_i(\mu)\geqslant l_i$ для всех $i=\overline{1,n}$ и $\mu\in M,$ 4) для любого $i=\overline{1,n}$ функция $f_i(\cdot)\colon M\to \mathbb{R}$ ограничена, и при каждом $r\in\mathbb{R}$ прообраз $f_i^{-1}([r,+\infty))$ полуинтервала $[r,+\infty)$ является $G_{\delta}$-множеством. Решение аналогичной задачи описания пар, составленных из индекса ${\rm es}(A)\in \{0,\ldots,n\}$ экспоненциальной устойчивости системы $A$ и из индекса ${\rm es}(\cdot\,;A+Q)\colon M\to \{0,\ldots,n\}$ экспоненциальной устойчивости семейства $A+Q,$ т. е. класса ${\cal I}{\cal E}_n(M)=\{\bigl({\rm es}(A),{\rm es}(\cdot\,;A+Q)\bigr)\,\vert\, A\in {\cal M}_{n},\,Q\in {\cal E}_n[A](M)\}$, описывается утверждением: для любых натурального $n\geqslant 2$ и метрического пространства $M$ пара $\bigl(d,f(\cdot)\bigr),$ где $d\in\{0,\ldots,n\}$ и $f\colon M\to\{0,\ldots,n\}$, принадлежит классу ${\cal I}{\cal E}_n(M)$ тогда и только тогда, когда  $f(\mu)\leqslant d$ для любого $\mu\in M$ и при каждом $r\in\mathbb{R}$ прообраз $f^{-1}((-\infty,r])$ полуинтервала $(-\infty,r]$ является $G_{\delta}$-множеством.

Ключевые слова: линейная дифференциальная система, показатели Ляпунова, убывающие к нулю возмущения, классы Бэра

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ляпунов А.М. Собрание сочинений: в 6 т. Т. 2. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 476 с.

2.   Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

3.   Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Math. Zeitschr. 1930. Vol 31, iss. 4. P. 748–766.

4.   Perron O. Die Stabilit$\ddot{\mathrm{a}}$tsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Zeitschr. 1930. Vol 32, iss. 5. P. 703–728.

5.   Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. М.; Ижевск: РХД, 2006. 168 с.

6.   Коровин С.К., Изобов Н.А. Реализация эффекта Перрона смены значений характеристических показателей решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1536–1550.

7.   Барабанов Е.А., Быков В.В., Карпук М.В. Полное описание спектров показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра равномерно на временн$\acute{\mathrm{о}}$й полуоси // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 12. С. 1579–1588. doi: 10.1134/S0374064118120014 

8.   Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 8. C. 1408–1416.

9.   Бэр Р. Теория разрывных функций М.; Л.: ГТТИ, 1932, 134 с.

10.   Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.; Л.: ОНТИ, 1937, 306 с.

11.   Е. А. Барабанов, В. В. Быков. Описание линейного эффекта Перрона при параметрических возмущениях, убывающих к нулю на бесконечности // Устойчивость, управление, дифференциальные игры (SCDG2019): материалы Междунар. конф., посвященной 95-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2019. С. 48–53.

12.   Миллионщиков В.М. Показатели Ляпунова как функции параметра // Мат. сб. 1988. Т. 137. № 3. С. 364–380.

13.   Быков В.В. Функции, определяемые показателями Ляпунова семейств линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра равномерно на полуоси // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53, № 12. С. 1579–1592. doi: 10.1134/S0374064117120019 

14.   Stepanoff W. Sur les suites des fonctions continues // Fund. Math. 1928. vol. 11. pp. 264–274.

15.   Карпук М.В. Показатели Ляпунова семейств морфизмов метризованных векторных расслоений как функции на базе расслоения // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 10. С. 1332–1338. doi: 10.1134/S0374064114100057 .

16.   Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск.: Изд-во БГУ, 2006. 319 с.

17.   Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.

Поступила 30.09.2019

После доработки 8.11.2019

Принята к публикации 11.11.2019

Барабанов Евгений Александрович
канд. физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси
г. Минск
e-mail: bar@im.bas-net.by

Быков Владимир Владиславович
канд. физ.-мат. наук, доцент
МГУ имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: vvbykov@gmail.com

Ссылка на статью: Е.А. Барабанов, В.В. Быков. Описание линейного эффекта Перрона при параметрических возмущениях, экспоненциально убывающих к  нулю на бесконечности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т.25, № 4. С. 31-43.

English

E.A. Barabanov, V.V. Bykov. Description of the linear Perron effect under parametric perturbations exponentially vanishing at infinity

Let ${\cal M}_n$ be the set of linear differential systems of order $n\geqslant 2$ whose coefficients are continuous and bounded on the time semiaxis $\mathbb{R}_+$. Denote by $\lambda_1(A)\leqslant\ldots\leqslant \lambda_n(A)$ the Lyapunov exponents of a system $A\in {\cal M}_n,$ by $\Lambda(A)=(\lambda_1(A),\ldots,\lambda_n(A))$ their spectrum, and by ${\rm es}(A)$ the exponential stability index of $A$ (the dimension of the linear subspace of solutions with negative characteristic exponents). For a system $A\in {\cal M}_n$ and a metric space $M,$ we consider the class ${\cal E}_n[A](M)$ of continuous $(n\times n)$ matrix-valued functions $Q\colon \mathbb{R}_+\times M\to \mathbb{R}^{n\times n}$ satisfying the bound $\|Q(t,\mu)\|\leqslant C_Q\exp(-\sigma_Qt)$ for all $(t,\mu)\in\mathbb{R}_+\times M,$ where $C_Q$ and $\sigma_Q$ are positive constants (possibly different for each function $Q$), and such that the Lyapunov exponents of the system $A+Q,$ which are functions of $\mu\in M$ and are denoted by $\lambda_1(\mu;A+Q)\leqslant\ldots\leqslant \lambda_n(\mu;A+Q),$ are not less than the corresponding Lyapunov exponents of the system $A$; i.e., $\lambda_k(\mu;A+Q)\geqslant \lambda_k(A),$ $k=\overline{1,n},$ for all $\mu\in M$. The problem is to obtain a complete description for each $n\in\mathbb{N}$ and each metric space $M$ of the class of pairs $\bigl(\Lambda(A),\Lambda(\cdot\,;A+Q)\bigr)$ composed of the spectrum $\Lambda(A)\in\mathbb{R}^n$ of a system $A\in {\cal M}_n$ and the spectrum $\Lambda(\cdot\,;A+Q)\colon M\to \mathbb{R}^n$ of a family $A+Q,$ where $A$ ranges over ${\cal M}_n$ and the matrix-valued function $Q$ ranges over the class ${\cal E}_n[A](M)$ for each $A,$ i.e., of the class $\Pi {\cal E}_n(M)=\{\bigl(\Lambda(A),\Lambda(\cdot\,;A+Q)\bigr)\,\vert\, A\in {\cal M}_{n},\,Q\in {\cal E}_n[A](M)\}$. The solution of this problem is provided by the following statement: for each integer $n\geqslant 2$ and every metric space $M$, a pair $\bigl(l,F(\cdot)\bigr),$ where $l=(l_1,\ldots,l_n)\in\mathbb{R}^n$ and $F(\cdot)=(f_1(\cdot),\ldots,f_n(\cdot))\colon M\to \mathbb{R}^n,$ belongs to the class $\Pi {\cal E}_n(M)$ if and only if the following conditions are met: (1) $l_1\leqslant \ldots \leqslant l_n,$ (2) $f_1(\mu)\leqslant \ldots \leqslant f_n(\mu)$ for all $\mu\in M,$ (3) $f_i(\mu)\geqslant l_i$ for all $i=\overline{1,n}$ and $\mu\in M,$ (4) for each $i=\overline{1,n}$, the function $f_i(\cdot)\colon M\to \mathbb{R}$ is bounded and, for any $r\in\mathbb{R}$, the preimage $f_i^{-1}([r,+\infty))$ of the half-interval $[r,+\infty)$ is a $G_{\delta}$-set. The solution of the similar problem of describing the pairs composed of the exponential stability index ${\rm es}(A)\in \{0,\ldots,n\}$ of a system $A$ and the exponential stability index ${\rm es}(\cdot\,;A+Q)\colon M\to \{0,\ldots,n\}$ of a family $A+Q,$ i.e., the class ${\cal I}{\cal E}_n(M)=\{\bigl({\rm es}(A),{\rm es}(\cdot\,;A+Q)\bigr)\,\vert\, A\in {\cal M}_{n},\,Q\in {\cal E}_n[A](M)\}$, is contained in the following statement: for any positive integer $n\geqslant 2$ and every metric space $M$, a pair $\bigl(d,f(\cdot)\bigr),$ where $d\in\{0,\ldots,n\}$ and $f\colon M\to\{0,\ldots,n\},$ belongs to the class ${\cal I}{\cal E}_n(M)$ if and only if $f(\mu)\leqslant d$ for all $\mu\in M$ and, for any $r\in\mathbb{R}$, the preimage $f^{-1}((-\infty,r])$ of the half-interval $(-\infty,r]$ is a $G_{\delta}$-set.
 

Keywords: linear differential system, Lyapunov exponents, perturbations vanishing at infinity, Baire classes

Received September 30, 2019

Revised November 8, 2019

Accepted November 11, 2019

Evgenii Aleksandrovich Barabanov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics of National Academy of Sciences, Minsk, 119991 Belarus, e-mail: bar@im.bas-net.by

Vladimir Vladislavovich Bykov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: vvbykov@gmail.com

Cite this article as: E.A.Barabanov, V.V.Bykov. Description of the linear Perron effect under parametric perturbations exponentially vanishing at infinity, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 31–43.