О.В. Кравцова, Т.В. Моисеенкова. Полуполевые плоскости ранга 2, допускающие группу $S_3$ ... С. 118-128

УДК 519.145

MSC: 51A35, 51A40, 20B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-118-128

Полный текст статьи (Full text)

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-01-00566 А.

Одна из классических задач проективной геометрии - построение объекта по известным ограничениям на его автоморфизмы. Рассматриваются конечные проективные плоскости, координатизируемые полуполем, т. е. алгебраической системой, удовлетворяющей аксиомам тела, за исключением ассоциативности умножения. Такая плоскость является плоскостью трансляций и обладает также транзитивной группой элаций с аффинной осью. Пусть $\pi$ - полуполевая плоскость порядка $p^{2n}$ с ядром, содержащим $GF(p^n)$ ($p$ - простое число), группа линейных автотопизмов которой содержит подгруппу $H$, изоморфную симметрической группе $S_3$. Для построения и исследования таких плоскостей применяется подход с использованием линейного пространства и регулярного множества - специального семейства линейных преобразований. Построено матричное представление подгруппы $H$ и регулярного множества полуполевой плоскости для $p=2$ и $p>2$. Изучена возможность присутствия центральных коллинеаций в подгруппе $H$. Показано, что полуполевая плоскость порядка $3^{2n}$ с ядром $GF(3^n)$ не допускает $S_3$ в группе линейных автотопизмов. Найдены примеры полуполевых плоскостей порядков 16 и 625, допускающих $S_3$. Полученные результаты могут быть обобщены на случай полуполевых плоскостей ранга более двух и могут быть использованы, в частности, при исследовании известной гипотезы о разрешимости полной группы коллинеаций конечной недезарговой полуполевой плоскости.

Ключевые слова: полуполевая плоскость, группа автотопизмов, симметрическая группа, бэровская инволюция, гомология, регулярное множество

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Мазуров В.Д., Хухро Е.И. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь: изд. 16-е, доп., включающее архив решенных задач / Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН. Новосибирск, 2006. 193 с.

2.   Подуфалов Н.Д., Дураков Б.К., Кравцова О.В., Дураков Е.Б. О полуполевых плоскостях порядка $16^2$ // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 3. С. 616–623.

3.   Jha V., Johnson N.L. The translation planes of order 81 admitting SL(2,5) // Note di Matematica. 2005. Vol. 24, no. 2. P. 59–73. doi: 10.1285/i15900932v24n2p59 

4.   Biliotti M., Jha V., Johnson N.L., Menichetti G. A structure theory for two-dimensional translation planes of order $q^2$ that admit collineation group of order $q^2$ // Geom. Dedicata. 1989. Vol. 29. P. 7–43. doi: 10.1007/BF00147468 

5.   Levchuk V.M., Kravtsova O.V. Problems on structure of finite quasifelds and projective translation planes // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38, no 4. P. 688—698. doi: 10.1134/S1995080217040138 

6.   R$\acute{\mathrm{u}}$a I.F., Combarro E.F., Ranilla J. Classification of semifields of order 64 // J. Algebra, 2009, vol. 322, no. 11, pp. 4011–4029. doi: 10.1016/j.jalgebra.2009.02.020 

7.   Кравцова О.В., Моисеенкова Т.В. Полуполевые проективные плоскости, допускающие подгруппу коллинеаций, изоморфную $S_3$. // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории: материалы Междунар. конф. посвященной 80-летию со дня рождения профессора Мишеля Деза. Тула: Изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2019. С. 260–262.

8.   Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes. N Y: Springer-Verlag, 1973. 292 p.

9.   Johnson N.L., Jha V., and Biliotti M. Handbook of finite translation planes. Boca Raton; London; N Y: Chapman and Hall, 2007. 861 p.

10.   Кравцова О.В. Полуполевые плоскости, допускающие бэровскую инволюцию // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2013. №2. С. 26–38.

11.   Vaughan, T.P. Polynomials and linear transformations over finite fields // J. Reine Angew. Math. 1974. Vol. 267. P. 179–206. doi: 10.1515/crll.1974.267.179 

12.   Huang H. , Johnson N.L. 8 semifield planes of order $8^2$ // Discrete Math. 1990. Vol. 80, no. 1. P. 69–79. doi: 10.1016/0012-365X(90)90296-T 

Поступила 25.07.2019

После доработки 7.10.2019

Принята к публикации 14.10.2019

Кравцова Ольга Вадимовна
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры высшей математики № 2
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
e-mail: ol71@bk.ru

Моисеенкова Татьяна Владимировна
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры высшей математики № 2
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
e-mail: tanya-mois11@yandex.ru

Ссылка на статью: О.В. Кравцова, Т.В. Моисеенкова. Полуполевые плоскости ранга 2, допускающие группу $S_3$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 118-128.

English

O.V. Kravtsova, T.V. Moiseenkova. Semifield planes of rank 2 admitting the group $S_3$

One of the classical problems in projective geometry is to construct an object from known constraints on its automorphisms. We consider finite projective planes coordinatized by a semifield, i.e., by an algebraic system satisfying all axioms of a skew-field except for the associativity of multiplication. Such a plane is a translation plane admitting a transitive elation group with an affine axis. Let $\pi$ be a semifield plane of order $p^{2n}$ with a kernel containing $GF(p^n)$ for prime $p$, and let the linear autotopism group of $\pi$ contain a subgroup $H$ isomorphic to the symmetric group $S_3$. For the construction and analysis of such planes, we use a linear space and a spread set, which is a special family of linear mappings. We find a matrix representation for the subgroup $H$ and for the spread set of a semifield plane if $p=2$ and if $p>2$. We also study the existence of central collineations in $H$. It is proved that a semifield plane of order $3^{2n}$ with kernel $GF(3^n)$ admits no subgroups isomorphic to $S_3$ in the linear autotopism group. Examples of semifield planes of order 16 and 625 admitting $S_3$ are found. The obtained results can be generalized for semifield planes of rank greater than 2 and can be applied, in particular, for studying the known hypothesis that the full collineation group of any finite non-Desarguesian semifield plane is solvable.

Keywords: semifield plane, autotopism group, symmetric group, Baer involution, homology, spread set

Received July 25, 2019

Revised October 7, 2019

Accepted October 14, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566 А).

Olga Vadimovna Kravtsova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: ol71@bk.ru

Tatyana Vladimirovna Moiseenkova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: tanya-mois11@yandex.ru

Cite this article as: O.V.Kravtsova, T.V.Moiseenkova. Semifield planes of rank 2 admitting the group $S_3$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 118–128.