А.О. Леонтьева. Неравенство Бернштейна — Сеге в пространстве $L_0$ для тригонометрических полиномов ... С. 129-135

УДК 517.518.86

MSC: 42A05, 41A17, 26A33

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-129-135

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Неравенства вида $\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p \|f_n\|_p$ для классических производных при $\alpha\in\mathbb{N}$ и производных Вейля вещественного порядка $\alpha\ge 0$ тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n\ge 1$ и их сопряженных при вещественном $\theta$ и $0\le p\le \infty$ называют неравенствами Бернштейна - Сеге. Они являются обобщением классического неравенства Бернштейна ($\alpha=1$, $\theta=0$, $p=\infty$). Такие неравенства  изучаются уже более 90 лет. Задача исследования неравенства Бернштейна - Сеге состоит в изучении свойств наилучшей (наименьшей) константы $B_n(\alpha,\theta)_p,$ ее точного значения и экстремальных полиномов, на которых это неравенство обращается в равенство.  Г. Сеге (1928), А. Зигмунд (1933), А.И. Козко (1998) показали, что в случае $p\ge 1$  для вещественных $\alpha\ge 1$ и любых вещественных $\theta$ для наилучшей константы  выполняется равенство $B_n(\alpha,\theta)_p=n^\alpha.$ Представляют интерес неравенства Бернштейна - Сеге при $p=0$  как минимум по той причине, что среди всех $0\le p\le\infty$ константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ является наибольшей по $p$ при $p=0$. В 1981 г. В.В. Арестов доказал, что при $r\in\mathbb{N}$ и $\theta=0$ в пространствах $L_p,\,0\le p<1,$ неравенство Бернштейна выполняется с константой $n^r$, т. е. $B_n(r,0)_p=n^r$. В 1994 г. он доказал, что при $p=0$ для производной сопряженного полинома порядка $r\in\mathbb{N}\cup\{0 \}$, т. е. при $\theta=\pi/2$, точная константа имеет показательный рост по $n$, а точнее,  справедливо соотношение $B_n(r,\pi/2)_0=4^{n+o(n)}$. В двух недавних работах автора (2018) получен подобный результат для производных  Вейля положительного нецелого порядка при любом вещественном $\theta$. В данной работе доказано, что формула $B_n(\alpha,\theta)_0=4^{n+o(n)}$ имеет место и для производных неотрицательных  целых порядков $\alpha$ и  произвольных  вещественных \mbox{$\theta\neq \pi k,\,k\in\mathbb{Z}$}.

Ключевые слова: тригонометрический полином, сопряженный полином, производная Вейля, неравенство Бернштейна - Сеге, пространство $L_0$.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арестов В. В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности // Мат. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 7–18.

2.   Арестов В. В. Неравенство Сеге для производных сопряженного тригонометрического полинома в $L_0$ // Мат. заметки. 1994. Т. 56, № 6. С. 10–26.

3.   Леонтьева А. О. Неравенство Бернштейна для производных Вейля тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ // Мат. заметки. 2018. Т. 104, вып. 2. С. 255–264.

4.   Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. М.: Наука, 1978. Т. 1: 391 с.; Т. 2: 431 с.

5.   Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 638 с.

6.   Arestov V. V. Sharp integral inequalities for trigonometric polynomials // Constructive theory of functions: in memory of Borislav Bojanov: Proc. Internat. Conf. / eds. G. Nikolov and R. Uluchev (Sozopol, 2010). Sofia: Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, 2012. P. 30–45.

7.   Arestov V. V., Glazyrina P. Yu. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials // J. Approx. Theory. 2012. Vol. 164. P. 1501–1512. doi:10.1016/j.jat.2012.08.004 

8.   Marden M. The geometry of the zeros of polynomials in a complex variable. N Y: Amer. Math. Soc, 1949. 184 p. (Math. Survey, № 3. )

9.   Weyl H. Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung // Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich. 1917. Bd 62, № 1–2. S. 296–302.

Поступила 6.08.2019

После доработки 21.10.2019

Принята к публикации 28.10.2019

Леонтьева Анастасия Олеговна
аспирант
Уральский федеральный университет им. Б.Н.Ельцина;
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
г. Екатеринбург
e-mail: sinusoida2012@yandex.ru

Ссылка на статью: А.О. Леонтьева. Неравенство Бернштейна — Сеге в пространстве $L_0$ для тригонометрических полиномов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 129-135.

English

A.O. Leont’eva. Bernstein–Szego inequality for trigonometric polynomials in the space $L_0$

Inequalities of the form $\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p \|f_n\|_p$ for classical derivatives of order $\alpha\in\mathbb{N}$ and Weyl derivatives of real order $\alpha\ge 0$ of trigonometric polynomials $f_n$ of order $n\ge 1$ and their conjugates for real $\theta$ and $0\le p\le \infty$ are called Bernstein-Szego inequalities. They are generalizations of the classical Bernstein inequality ($\alpha=1$, $\theta=0$, $p=\infty$). Such inequalities have been studied for more than 90 years. The problem of studying the Bernstein-Szego inequality consists in analyzing the properties of the best (the smallest) constant $B_n(\alpha,\theta)_p$, its exact value, and extremal polynomials for which this inequality turns into an equality. G. Szego (1928), A. Zygmund (1933), and A.I. Kozko (1998) showed that, in the case $p\ge 1$ for real $\alpha\ge 1$ and any real $\theta$, the best constant $B_n(\alpha,\theta)_p$ is~$n^\alpha$. For $p=0$, Bernstein-Szego inequalities are of interest at least because the constant $B_n(\alpha,\theta)_p$ is the largest for $p=0$ over $0\le p\le\infty$. In 1981, V.V. Arestov proved that, for $r\in\mathbb{N}$ and $\theta=0$, the Bernstein inequality is true with the constant $n^r$ in the spaces $L_p$, $0\le p<1$; i.e., $B_n(r,0)_p=n^r$. In 1994, he proved that, for $p=0$ and the derivative of the conjugate polynomial of order $r\in\mathbb{N}\cup\{0 \}$, i.e., for $\theta=\pi/2$, the exact constant grows exponentially in $n$; more precisely, $B_n(r,\pi/2)_0=4^{n+o(n)}$. In two recent papers of the author (2018), a similar result was obtained for Weyl derivatives of positive noninteger order for any real $\theta$. In the present paper, we prove that the formula $B_n(\alpha,\theta)_0=4^{n+o(n)}$ holds for derivatives of nonnegative integer orders $\alpha$ and any real $\theta\neq \pi k,\,k\in\mathbb{Z}$.

Keywords: trigonometric polynomial, conjugate polynomial, Weyl derivative, Bernstein-Szego}inequality, space $L_0$

Received August 6, 2019

Revised October 21, 2019

Accepted October 28, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Anastasia Olegovna Leont’eva, doctoral student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia; N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: sinusoida2012@yandex.ru.

Cite this article as: A.O.Leont’eva. Bernstein–Szego inequality for trigonometric polynomials in the space $L_0$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 129–135.