О.В. Кравцова, В.М. Левчук. Вопросы строения конечных почти-полей ... С. 107-117

УДК 512.552

MSC: 12K05, 12K10, 17A35

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-107-117

Полный текст статьи (Full text)

Полуполем называют простое кольцо, в котором ненулевые элементы по умножению образуют лупу. К более общему понятию квазиполя (в случае ассоциативного кольца  - почти-поля) приходим, ослабляя двустороннюю дистрибутивность до односторонней. Исследуемые вопросы строения конечных полуполей и квазиполей изучались в различных ситуациях уже давно. В последние годы они отмечались явно в ряде статей. Ранее эти вопросы были решены для полуполей Кнута - Р$\acute{\mathrm{у}}$а и Хентзела - Р$\acute{\mathrm{у}}$а - контрпримеры порядков 32 и 64 к известной гипотезе Венэ. Для описания некоторых квазиполей малых порядков использовались также методы компьютерной алгебры. Известно, что центр конечного полуполя всегда содержит простое подполе. Авторы показывают, что центр конечного почти-поля $Q$ содержит простое подполе $P$ кроме четырех почти-полей Цассенхауза порядков $5^2$, $7^2$, $11^2$, $29^2$. Ядро почти-поля $Q$ всегда содержит $P$. При достаточно общих условиях перечислены максимальные подполя конечного почти-поля. Группы автоморфизмов почти-поля $Q$ и его мультипликативной группы $Q^*$ были найдены ранее. Метацикличность группы $Q^*$ позволяет выписать явно спектр групповых порядков ее элементов.

Ключевые слова: квазиполе, полуполе, почти-поле, максимальное подполе, спектр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. Москва: Физматгиз, 1962. 396 с.

2.   Dickson L.E. Linear algebras in which division is always uniquely possible // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7, no. 3. P. 370–390. doi: 10.2307/1986324 

3.   Veblen O., Maclagan–Wedderburn J.H. Non-desarguesian and non-Pascalian geometries // Trans. Amer. Math. Soc. 1907. Vol. 8, no. 3. P. 379–388. doi: 10.2307/1988781 

4.   Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes. N Y Inc.: Springer-Verlag, 1973. 292 p. ISSN: 0-387-90044-6 .

5.   Johnson N.L., Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes. London; N Y: Chapman Hall/CRC, 2007. 888 p. ISBN: 1420011146А,.

6.   Levchuk V.M., Kravtsova O.V. Problems on structure of finite quasifields and projective translation planes // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38, no. 4, P. 688–698. doi: 10.1134/S1995080217040138

7.   Wene G.P. On the multiplicative structure of finite division rings // Aeq. Math. 1991. Vol. 41. P. 222–233.

8.   Zassenhaus H. Uber endliche Fastk$\ddot{\mathrm{o}}$rper // Abh. Math. Sem. Hamburg, 1936. Vol. 11, no. 1. P. 187–220. doi: 10.1007/BF02940723 

9.   Холл М. Теория групп. М.: Госиноиздат, 1962. 468 с.

10.   Яковлева Т.Н. Вопросы строения квазиполей с ассоциативными степенями. Изв. Иркут. гоc. ун-та. Сер. “Математика”. 2019. Т. 29. С. 107–119. doi: 10.26516/1997-7670.2019.29.107 

11.   Felgner U. Pseudo-finite near-fields // Near-rings and near-fields / ed. C. Betrh. N Y Inc.: Elsevier Science Publisher B. V. (North-Holland). 1987. P. 15–29. (Ser. North-Holland Mathematics Studies; vol. 137). doi: 10.1016/S0304-0208(08)72282-5 

12.   Коксетер Г.С.М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. Москва: Наука, 1980. 240 с.

13.   Dancs S. The sub-near-field structure of finite near-fields // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. Vol. 5. P. 275–280. doi: 10.1017/S000497270004716X

14.   Dancs Groves S. Locally finite near-fields // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1979. Vol. 48. P. 89–107. doi: 10.1017/S0004972700043914

15.   Dancs S. On finite Dickson near-fields // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1972. Vol. 37. P. 254–257. doi: 10.1007/BF02999702 

16.   Ellers E., Karzel H. Endliche Inzidenzgruppen // Abh. Math. Sem. Hamburg. 1964. Vol. 27, no. 3-4. P. 250–264. doi: 10.1007/BF02993220 

17.   W$\ddot{\mathrm{a}}$hling H. Theorie der Fastk$\ddot{\mathrm{o}}$rper. Vol. 1 of Thales Monographs. Essen: Thales-Verlag, 1987. 393 p.

18.   Boykett T., Howell K.-T. The multiplicative automorphisms of a finite nearfield, with an application // Commun. Algebra. 2016. Vol. 44, iss. 6. P. 2336–2350. doi: 10.1080/00927872.2015.1044105 

Поступила 3.09.2019

После доработки 28.10.2019

Принята к публикации 6.11.2019

Кравцова Ольга Вадимовна
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры высшей математики № 2,
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: ol71@bk.ru

Левчук Владимир Михайлович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой алгебры и математической логики,
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: vlevchuk@sfu-kras.ru

Ссылка на статью: О.В. Кравцова, В.М. Левчук. Вопросы строения конечных почти-полей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 107-117.

English

O.V. Kravtsova, V.M. Levchuk. Questions of the structure of finite near-fields

A semifield is a simple ring in which nonzero elements with respect to multiplication form a loop. Weakening distributivity from two-sided to one-sided yields the more general notion of quasifield (near-field under the condition of associativity). Problems of the structure of finite semifields and quasifields have been studied in various cases for a long time. In recent years, they have been mentioned in a number of papers. These problems were solved earlier for Knuth-R$\acute{\mathrm{u}}$a and Hentzel-R$\acute{\mathrm{u}}$a semifields, which are counterexamples of orders 32 and 64 to Wene's known hypothesis. The methods of computer algebra were used to describe some quasifields of small orders. It is known that the center of a finite semifield always contains the prime subfield. We show that the center of a finite near-field $Q$ contains the prime subfield $P$ except for Zassenhaus' four near-fields of orders $5^2$, $7^2$, $11^2$, and $29^2$. The kernel of a near-field $Q$ always contains $P$. The maximal subfields of a finite near-field are enumerated under sufficiently general conditions. The automorphism groups of a near-field $Q$ and of its multiplicative group $Q^*$ were found earlier. The group $Q^*$ is metacyclic, which makes it possible to explicitly find the spectrum of group orders of its elements.

Keywords: quasifield, semifield, near-field, maximal subfield, spectrum

Received September 3, 2019

Revised October 28, 2019

Accepted November 6, 2019

Olga Vadimovna Kravtsova, Cand. Sci. Phys.-Math., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: ol71@bk.ru.

Vladimir Mikhailovich Levchuk, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: vlevchuk@sfu-kras.ru.

Cite this article as: O.V.Kravtsova, V.M.Levchuk. Questions of the structure of finite near-fields, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 107–117.