Д.А. Серков, А.Г. Ченцов. К построению неупреждающего селектора многозадачного отображения ... С. 232-246

УДК 517.977

MSC: 49N70, 54C65

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-232-246

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена в рамках проекта “Новейшие методы математического моделирования в изучении нелинейных динамических систем” по проведению фундаментальных научных исследований по приоритетным направлениям, определяемым президиумом Российской академии наук.

В работе изучаются свойства многозначных отображений общего вида в аспекте возможности выделения из них неупреждающих селекторов. Свойство неупреждаемости формулируется для произвольной области определения заданием некоторого семейства “тестовых” подмножеств. Предложены достаточные условия существования неупреждающего селектора неупреждающего многозначного отображения: его значения должны быть непустыми компактами, а семейство “тестовых” подмножеств необходимо линейно упорядочить по включению. В качестве иллюстрации полученных результатов рассмотрена возможность их приложения к дифференциальной игре сближения-уклонения в форме П. Варайя и Дж. Лин.

Ключевые слова: квазистратегия, неупреждаемость, селектор, топология

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Roxin Emilio. Axiomatic approach in differential games // J. Optim. Theory Appl. 1969. Vol. 3, № 3. P. 153–163.

2.   Ryll-Nardzewski C. R. A theory of persuit and evasion. Adv. in game theory // Ann. Math. Stud. 1964. P. 113–126.

3.   Varaiya P., Lin Jiguan. Existence of saddle points in differential games // SIAM J. Control. 1969. Vol. 7, № 1. P. 141–157.

4.   Elliott Robert J., Kalton Nigel J. The existence of value in differential games of pursuit and evasion // J. Diff. Eq. 1972. Vol. 12, № 3. P. 504–523.

5.   Ченцов А. Г. Об игровой задаче на минимакс функционала // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, № 5. С. 1047–1050.

6.   Ченцов A. Г. Селекторы многозначных стратегий в дифференциальных играх. Деп. в ВИНИТИ, № 3101-78 / Ин-т математики и механики УНЦ АН СССР. Свердловск, 1978. 45 c.

7.   Ченцов А. Г. Об альтернативе в классе квазистратегий для дифференциальной игры сближения-уклонения // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 10. С. 1801–1808.

8.   Красовский Н. Н., Субботин A. И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. С. 1005–1022.

9.   Красовский Н. Н., Субботин A. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 c.

10.   Кряжимский А. В., Ченцов А. Г. О структуре игрового управления в задачах сближения и уклонения. Деп. в ВИНИТИ, № 1729-80 / Ин-т математики и механики УНЦ АН СССР. Свердловск, 1979. 72 с.

11.   Ченцов А. Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 1. С. 73–76.

12.   Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99 (141), № 3. С. 394–420.

13.   Ченцов А. Г. Неупреждающие многозначные отображения и их построение с помощью метода программных итераций, I // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 4. С. 470–480.

14.   Ченцов А. Г. Неупреждающие селекторы многозначных отображений // Дифференц. уравнения и процессы управления. 1998. № 2. С. 1–64. URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j019.pdf.

15.   Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 c.

16.   Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 c.

17.   Serkov D. A. Unlocking of predicate: application to constructing a non-anticipating selection // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki. 2017. Vol. 27, № 2. P. 283–291.

18.   Серков Д. А. К построению множества истинности предиката // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2017. № 2 (50). С. 37–53.

19.   Serkov D. A. On a condition of existence of non-anticipating selections // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, № 32. P. 267–270.

20.   Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 432 c.

21.   Chentsov A. G., Morina S. I. Extensions and relaxations. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publ., 2002. 408 p.

22.   Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 c.

23.   Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 256 c.

24.   Субботин A. И., Ченцов A. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 c.

Поступила 15.05.2019

После доработки 19.06.2019

Принята к публикации 24.06.2019

Серков Дмитрий Александрович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: serkov@imm.uran.ru

Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук, профессор, чл.-корр. РАН, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Д.А. Серков, А.Г. Ченцов. К построению неупреждающего селектора многозадачного отображения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 232-246.

English

D.A. Serkov, A.G. Chentsov. On the construction of a nonanticipating selection of a multivalued mapping

We study the properties of multivalued mappings of general form with respect to the possibility of finding their nonanticipating selections. The property of nonanticipation is formulated for an arbitrary domain by specifying some family of “test” subsets. Sufficient conditions for the existence of a nonanticipating selection of a nonanticipating multivalued mapping are proposed: the values of the mapping must be nonempty compact sets, and the family of “test” subsets must be totally ordered by inclusion. We illustrate the results by showing their applicability to the pursuit–evasion differential game in the form of P. Varaya and J. Lin.

Keywords: quasistrategy, nonantiсipation, selection, topology

Received May 15, 2019

Revised June 19, 2019

Accepted June 24, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Presidium of the Russian Academy of Sciences within the project “Newest Methods of Mathematical Modeling in the Study of Nonlinear Dynamic Systems.”

Dmitrii Aleksandrovich Serkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: serkov@imm.uran.ru

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Cite this article as: D.A. Serkov, A.G. Chentsov. On the construction of a nonanticipating selection of a multivalued mapping, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 232–246.