В.П. Танана, А.И. Сидикова. Приближенное решение обратной граничной задачи для системы дифференциальных уравнений параболического типа и оценка погрешности этого решения ... С. 247-264

УДК 517.983.54

MSC: 35R30

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-247-264

Полный текст статьи (Full text)

В статье изучается задача об определении граничного условия в уравнении теплопроводности для полого шара из композиционного материала, состоящего из двух однородных составных частей. В качестве граничных условий внутри шара при $r = r_0$ рассматривается условие Дирихле. В обратной задаче температура внутри шара считается неизвестной на бесконечном интервале времени. Для ее отыскания измеряется температура теплового потока в разделе сред в точке $r = r_1$. В работе проведено аналитическое исследование прямой задачи, позволившее дать строгую постановку обратной задачи и определить функциональные пространства, в которых естественно решать обратную задачу. Основная трудность, на решение которой направлена статья, заключается в получении оценки погрешности приближенного решения. Для этого используется метод проекционной регуляризации,который позволяющий получить точные по порядку оценки.

Ключевые слова: оценка погрешности, модуль непрерывности, преобразование Фурье, некорректная задача

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука. Физматлит, 1997. 288 с.

2.   Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с

3.   Танана В.П., Данилин А.P. Об оптимальности регуляризующих алгоритмов при решении некорректных задач // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 2. С. 1323–1326.

4.   Танана В.П., Ершова А.А. О решении обратной граничной задачи для композитных материалов // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2018. Т. 28, № 4. С. 474–488.

5.   Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.

6.   Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

7.   Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 2. С. 117–132.

8.   Тихонов А.Н., Гласко В.Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1967. № 4. С. 910–914.

9.   Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некоторые задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 285 с.

10.   Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Изд-во технико-теорет. литературы, 1956. 683 с.

11.   Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Изд-во высшая школа, 1967. 599 с.

12.   Tanana V, Sidikova A. Optimal methods for ill-posed problems with applications to heat conduction: with applications to heat conduction. Berlin: De Gruyter, 2018. 130 p. ISBN: 978-3-11-057721-1 .

13.   Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. М.: Физматлит., 2006. 864 с.

14.   Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. 432 с.

Поступила 28.06.2019

После доработки 22.08.2019

Принята к публикации 26.08.2019

Танана Виталий Павлович
д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Южно-Уральский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: tananavp@susu.ru

Сидикова Анна Ивановна
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Южно-Уральский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: sidikovaai@susu.ru

Ссылка на статью: В.П. Танана, А.И. Сидикова. Приближенное решение обратной граничной задачи для системы дифференциальных уравнений параболического типа и оценка погрешности этого решения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 247-264.

English

V.P. Tanana, A.I. Sidikova. Approximate solution of an inverse boundary value problem for a system of differential equations of parabolic type and estimation of the error of this solution

We study the problem of finding a boundary condition in the heat equation for a hollow ball made of a composite material consisting of two homogeneous components. The Dirichlet condition is considered as boundary conditions inside the ball at $r= r_0$. In the inverse problem, the temperature inside the ball is assumed to be unknown on an infinite time interval. For finding it, the temperature of the heat flux at the media interface for $r = r_1$ is measured. We analyze the direct problem, which allows us to give a strict formulation of the inverse problem and determine the functional spaces in which it is natural to solve the inverse problem. Estimating the error of the approximate solution presents a major difficulty, which is dealt with in this paper by the method of projection regularization. Using this method, we find order-exact estimates.

Keywords: error estimation, modulus of continuity, Fourier transform, ill-posed problem

Received June 28, 2019

Revised August 22, 2019

Accepted August 26, 2019

Vitalii Pavlovich Tanana, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, 454080 Russia, e-mail: tananavp@susu.ru

Anna Ivanovna Sidikova, Сand. Phys.-Math. Sci, South Ural State University, Chelyabinsk, 454080 Russia, e-mail: sidikovaai@susu.ru

Cite this article as: V.P. Tanana, A.I. Sidikova. Approximate solution of an inverse boundary value problem for a system of differential equations of parabolic type and estimation of the error of this solution, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 247–264.