В.П. Максимов. К вопросу о построении и оценках матрицы Коши для систем с последействием ... С. 153-162

УДК 517.929

MSC: 34K10, 34K34, 34K35

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-153-162

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 18-01-00332).

Рассматривается линейная функционально-дифференциальная система с последействием общего вида. Приводятся основные соотношения, определяющие матрицу Коши — ядро интегрального представления решения задачи Коши. Отмечается роль матрицы Коши в исследовании широкого круга задач теории функционально-дифференциальных систем, в том числе задач управления относительно заданной системы целевых функционалов и краевых задач с общими краевыми условиями. Эффективность решения этих задач существенно зависит от возможности построения достаточно точного приближения матрицы Коши исследуемой системы. Предлагается подход к приближенному построению матрицы Коши, сочетающий итерационные процедуры и алгоритмы построения достаточно точного начального приближения, основанные на специальной аппроксимации параметров исходной системы. Установлены оценки точности получаемых приближений.

Ключевые слова: линейные системы с последействием, представление решений, матрица Коши

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М: Наука, 1985. 520 с.

2.   Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 c.

3.   Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Москва: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2002. 384 c.

4.   Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 4. С. 601–606.

5.   Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Пермь: ПГУ, ПСИ, ПССГК, 2003. 306 c.

6.   Chadov A.L., Maksimov V.P. Linear boundary value problems and control problems for a class of functional differential equations with continuous and discrete times // Functional Differential Equations. 2012. Vol. 19, no. 1-2. P. 49–62.

7.   Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80 с.

8.   Maksimov V.P. On the property of controllability with respect to a family of linear functionals // Functional Differential Equations. 2009. Vol. 16, no. 3. P. 517–527.

9.   Maksimov V.P., Munembe J.S.P. On the question of enclosing solutions of linear functional differential systems // Mem. Differential Equations Math. Phys. 1997. Vol. 12. P. 149–156.

10.   Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей макроэкономики // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Экономика. 2014. № 1. С. 14–27.

11.   Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М: Мир, 1983. 432 с.

12.   Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 c.

13.   Maksimov V.P. On a class of optimal control problems for functional differential systems // Proc. Steklov Inst. Math. 2019. Vol. 305, suppl. 1. P. 114–124. doi: 10.1134/S0081543819040126 

Поступила 23.04.2019

После доработки 4.06.2019

Принята к публикации 10.06.2019

Максимов Владимир Петрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Пермский государственный национальный исследовательский университет
г. Пермь
e-mail: maksimov@econ.psu.ru

Ссылка на статью: В.П. Максимов. К вопросу о построении и оценках матрицы Коши для систем с последействием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 153-162.

English

V.P. Maksimov. On the construction and estimates of the Cauchy matrix for systems with aftereffect

A linear functional differential system with aftereffect of general form is considered. Basic relations that define the Cauchy matrix — the kernel of integral representation to solutions of the Cauchy problem — are presented. The role of the Cauchy matrix in the study of a wide range of problems in the theory of functional differential systems, including control problems with respect to a given system of objective functionals and boundary value problems with general boundary conditions, is indicated. The efficiency of solving these problems depends essentially on the possibility of constructing a sufficiently exact approximation to the Cauchy matrix of the system. We propose an approach to the approximate construction of the Cauchy matrix that combines iterative procedures and algorithms for the construction of a rather accurate initial approximation based on a special approximation of parameters of the system. Error estimates are established for the resulting approximations.

Keywords: linear systems with aftereffect, representation of solutions, Cauchy matrix

Received April 23, 2019

Revised June 4, 2019

Accepted June 10, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00332).

Vladimir Petrovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Perm State University, Perm, 614990 Russia, e-mail: maksimov@econ.psu.ru

Cite this article as: V.P. Maksimov. On the construction and estimates of the Cauchy matrix for systems with aftereffect, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 153–162.