М.С. Никольский. Оценивание множества достижимости сверху по включению для некоторых нелинейных систем управления ... С. 163-170

УДК 517.977

MSC: 42C10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-163-170

Полный текст статьи (Full text)

В теории оптимального управления важным объектом исследования является множество достижимости управляемого объекта $D(T)$. Это множество в грубой форме отражает динамические возможности управляемого объекта, что важно для теории и приложений. Многие оптимизационные задачи для управляемых объектов в своей постановке используют множество $D(T)$. Одним из ключевых аспектов изучения свойств управляемых объектов является получение конструктивных оценок сверху по включению для $D(T)$. В частности, такие оценки полезны при приближенных вычислениях $D(T)$ пиксельным методом. Основным объектом изучения в настоящей статье являются две нелинейные модели прямого регулирования, известные в литературе по теории абсолютной устойчивости, с добавкой управляющего члена в правую часть соответствующей системы дифференциальных уравнений. Для получения искомых оценок сверху по включению в статье используются известные в теории абсолютной устойчивости функции Ляпунова. Отметим, что оценки сверху для $D(T)$ получены в виде некоторых шаров в фазовом пространстве с центром в 0.

Ключевые слова: множество достижимости, функция Ляпунова, абсолютная устойчивость, прямое регулирование

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. Москва: Изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

2.   Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. Москва: Наука, 1970. 240 с.

3.   Гусев М.И. О внешних оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2011. Т. 17, № 1. С. 60–69.

4.   Никольский М.С. Об оценивании множества достижимости для некоторых управляемых объектов // Междунар. конф., посвящ. 110-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина: сб. тр. Москва, 2018. С. 194–196.

5.   Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Москва: ГИФМЛ, 1959. 212 с.

6.   Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Москва: Мир, 1964. 168 с.

7.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. Москва: Наука, 1972. 576 с.

8.   Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Мир, 1970. 720 с.

9.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Москва: Наука, 1969. 384 с.

10.   Рапопорт Л.Б. О задаче абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными стационарными элементами // Автоматика и телемеханика. 1987. Вып. 5. С. 66–74.

11.   Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

Поступила 4.04.2019

После доработки 16.04.2019

Принята к публикации 29.04.2019

Никольский Михаил Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Математический институт им. В.А.Стеклова РАН
г. Москва
e-mail: mni@mi-ras.ru

Ссылка на статью: М.С. Никольский. Оценивание множества достижимости сверху по включению для некоторых нелинейных систем управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 163-170.

English

M.S. Nikolskii. Estimation of reachable sets from above with respect to inclusion for some nonlinear control systems

The study of reachable sets of controlled objects is an important research area in optimal control theory. Such sets describe in a rough form the dynamical possibilities of the objects, which is important for theory and applications. Many optimization problems for controlled objects use the reachable set $D(T)$ in their statements. In the study of properties of controlled objects, it is useful to have some constructive estimates of $D(T)$ from above with respect to inclusion. In particular, such estimates are helpful for the approximate calculation of $D(T)$ by the pixel method. In this paper we consider two nonlinear models of direct regulation known in the theory of absolute stability with a control term added to the right-hand side of the corresponding system of differential equations. To obtain the required upper estimates with respect to inclusion, we use Lyapunov functions from the theory of absolute stability. Note that the upper estimates for $D(T)$ are obtained in the form of balls in the phase space centered at the origin.

Keywords: reachable set, Lyapunov function, absolute stability, direct regulation

Received April 4, 2019

Revised April 16, 2019

Accepted April 29, 2019

Mikhail Sergeevich Nikolskii, Dr. Phys.-Math. Sci, Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Science, Moscow, 119991 Russia, e-mail: mni@mi-ras.ru.

Cite this article as: M.S. Nikolskii. Estimation of reachable sets from above with respect to inclusion for some nonlinear control systems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 163–170.