Е.К. Макаров, С.Н. Попова. Об определении равномерной полной наблюдаемости ... С. 129-140

УДК 517.977.1+517.926

MSC: 93B05, 93C05

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-129-140

Исследования второго автора выполнены при финансовой поддержке РФФИ (грант 18–51–41005).

Классические определения равномерной полной управляемости и равномерной полной наблюдаемости сформулированы Р. Калманом для систем с коэффициентами из класса $L_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Альтернативные им двойственные определения предложены Е.Л. Тонковым для систем с ограниченными измеримыми коэффициентами. Для теории управления асимптотическими инвариантами дифференциальных систем интерес представляют свойства равномерной полной управляемости и наблюдаемости для систем с произвольными коэффициентами. В статье предложено определение равномерной  полной наблюдаемости на произвольно заданном семействе отрезков вещественной оси в предположении, что на каждом таком отрезке определены некоторые пространства управлений и измеряемых выходов системы. При этом на систему не накладываются никакие ограничения, кроме требования существования  решений, их единственности и продолжимости на всю вещественную ось. Указаны простейшие свойства введенных понятий. Установлено, что в общем случае равномерная полная управляемость и равномерная полная наблюдаемость не являются двойственными свойствами линейных систем. Получены достаточные условия наличия такой двойственности. Аналогичные результаты сформулированы для пары "идентифицируемость - достижимость".

Ключевые слова: линейные  системы, равномерная полная наблюдаемость, равномерная полная управляемость

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

2.   Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем / Институт математики НАН Беларуси. Минск, 1999. 409 с.

3.   Kalman R.E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematiсa Mexicana. 1960. Vol. 5, no. 1. P. 102–119.

4.   Макаров Е.К., Попова С.Н. Об определении равномерной полной управляемости // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27, вып. 3. С. 326–343. doi: 10.20537/vm170304

5.   Макаров Е.К., Попова С.Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем. Минск: Беларус. навука, 2012. 407 с.

6.   Попова С.Н. Задачи управления показателями Ляпунова: дис. …канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Ижевск, 1992. 103 с.

7.   Зайцев В.А. Критерии равномерной полной управляемости линейной системы // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2015. Т. 25, вып. 2. С. 157–179. doi: 10.20537/vm150202

8.   Тонков Е.Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 10. С. 1804–1813.

9.   Васильев В.В., Тонков Е.Л. Критерий равномерной полной наблюдаемости линейной предельно рекуррентной системы // Проблемы современной теории периодических движений. Ижевск, 1980. № 4. С. 39–42.

10.   Тонков Е.Л. К теории линейных управляемых систем. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2018. 228 с.

Поступила 11.07.2019

После доработки 25.07.2019

Принята к публикации 29.07.2019

Макаров Евгений Константинович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом дифференциальных уравнений
Институт математики НАН Беларуси,
г. Минск
e-mail: jcm@im.bas-net.by

Попова Светлана Николаевна
д-р физ.-мат. наук
зав.кафедрой дифференциальных уравнений
Удмуртский государственный университет,
г. Ижевск
e-mail: udsu.popova.sn@gmail.com

Ссылка на статью: Е.К. Макаров, С.Н. Попова. Об определении равномерной полной наблюдаемости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 129-140.

English

E.K. Makarov, S.N. Popova. On the definition of uniform complete observability

The classical definitions of uniform complete controllability and uniform complete observability were formulated by R. Kalman for systems with coefficients from the class $L^{\rm loc}_2({\mathbb R})$. E.L. Tonkov proposed alternative dual definitions for systems with bounded measurable coefficients. For the theory of control of asymptotic invariants of differential systems, it is useful to study the properties of uniform complete controllability and observability for systems with arbitrary coefficients. We propose a definition of uniform complete observability on an arbitrarily given family of closed intervals of the real axis under the assumption that some spaces of controls and measured outputs of the system are defined on each of the intervals. Here we do not impose any constraints on the system apart from the requirement of the existence of solutions, their uniqueness, and extendability to the whole real axis. Some basic properties of the introduced notions are given. It is established that, in the general case, uniform complete controllability and uniform complete observability are not dual properties for linear systems. Sufficient conditions for the presence of such a duality are obtained. Similar results are formulated for the pair "identifiability - reachability".

Keywords: linear systems, uniform complete observability, uniform complete controllability

Received July 11, 2019

Revised July 25, 2019

Accepted July 29, 2019

Funding Agency: The work of the second author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18–51–41005).

Evgenii Konstantinovich Makarov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072 Belarus, e-mail: jcm@im.bas-net.by

Svetlana Nikolaevna Popova, Dr. Phys.-Math. Sci., Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: udsu.popova.sn@gmail.com

Cite this article as: E.K. Makarov, S.N. Popova. On the definition of uniform complete observability, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 129–140.