Н.Ю. Лукоянов, А.Р. Плаксин. К теории позиционных дифференциальных игр для систем нейтрального типа ... С. 118-128

УДК 517.977

MSC: 49N70, 49N35, 34K40

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-118-128

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МК-3566.2019.1.

Для динамической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями нейтрального типа в форме Дж. Хейла, рассматривается дифференциальная игра на минимакс-максимин показателя качества, который оценивает историю движения, реализующуюся к терминальному моменту времени. Управляющие воздействия игроков стеснены геометрическими ограничениями. Игра формализуется в классах чистых позиционных стратегий с памятью истории движения. Доказывается, что у такой игры существует цена и седловая точка. Доказательство основано на выборе подходящего функционала Ляпунова — Красовского при построении стратегий управления по методу экстремального сдвига на сопутствующие точки.

Ключевые слова: системы нейтрального типа, теория управления, дифференциальные игры

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2.   Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр систем с последействием // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, Вып. 2. C. 300–311.

3.   Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 516 c.

4.   Hale J. Theory of functional differential Equations. N Y: Springer-Verlag, 1977.

5.   Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Дифференциальные игры для систем нейтрального типа: аппроксимирующая модель // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. С. 202–214.

6.   Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Существование цены и седловой точки в позиционных дифференциальных играх для систем нейтрального типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2016. Т. 22, № 2. C. 101–112. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-101-112 

7.   Гомоюнов М.И., Плаксин А.Р. Об основном уравнении дифференциальных игр для систем нейтрального типа // Прикл. математика и механика. 2018. Т. 82, вып. 6. С. 675–689. doi: 10.31857/S003282350002733-6 

8.   Gomoyunov M.I., Lukoyanov N.Yu. On the numerical solution of differential games for neutral-type linear systems // Proc. Steklov Inst. Math. 2018. Vol. 301, suppl. 1. P. 44–56. doi: 10.1134/S0081543818050048 

9.   Кряжимский А.В. Об устойчивом позиционном управлении в дифференциальных играх // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42, Вып. 6. C. 963–968.

10.   Максимов В.И. Дифференциальная игра наведения для систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Задачи динамического управления: cб. ст. / УНЦ АН СССР, 1981. С. 33–45.

11.   Красовский Н.Н. О применении второго метода А. М. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 3. С. 315–327.

12.   Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

13.   Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 225 с.

14.   Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона — Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во Урал. федерал. ун-та, 2011. 243 с.

Поступила 16.04.2019

После доработки 14.05.2019

Принята к публикации 20.05.2019

Лукоянов Николай Юрьевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН,
директор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: nyul@imm.uran.ru

Плаксин Антон Романович
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: a.r.plaksin@gmail.com

Ссылка на статью: Н.Ю. Лукоянов, А.Р. Плаксин. К теории позиционных дифференциальных игр для систем нейтрального типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 118-128.

English

N.Yu. Lukoyanov, A.R. Plaksin. To the theory of positional differential games for neutral-type systems

For a dynamic system whose motion is described by neutral-type differential equations in Hale's form, we consider a minimax-maximin differential game with a quality index evaluating the motion history realized up to the terminal time. The control actions of the players are subject to geometric constraints. The game is formalized in classes of pure positional strategies with a memory of the motion history. It is proved that the game has a value and a saddle point. The proof is based on the choice of an appropriate Lyapunov-Krasovskii functional in the construction of control strategies by the method of an extremal shift to accompanying points.

Keywords: neutral-type systems, control theory, differential games

Received April 16, 2019

Revised May 14, 2019

Accepted May 20, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian President’s Grant for Young Russian Scientists no. MK-3566.2019.1.

Nikolai Yur’evich Lukoyanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of RAS, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia,
e-mail: nyul@imm.uran.ru

Anton Romanovich Plaksin, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: a.r.plaksin@gmail.com

Cite this article as: N.Yu. Lukoyanov, A.R. Plaksin. To the theory of positional differential games for neutral-type systems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 118–128.