А.А. Васильева. Колмогоровские поперечники классов Соболева на отрезке с ограничениями на вариацию ... С. 48-66

УДК 517.518.224

MSC: 41A46

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-48-66

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 19-01-00332).

В работе исследуется задача о колмогоровских поперечниках в пространстве $L_q[0, \, 1]$ классов Липшица на отрезке с фиксированными значениями в нескольких точках: $\tilde M = \{f\in AC[0, \, 1], \; \|\dot{f}\|_\infty \le 1, \; f(j/s)=y_j, \; 0\le j\le s\}$. Из известных результатов о поперечниках классов Соболева легко получить порядковые оценки с точностью до констант, зависящих от $q$ и $y_1, \, \dots, \, y_n$. Здесь получены порядковые оценки с точностью до констант, зависящих только от $q$. Задача сводится к оценке поперечников пересечения двух конечномерных множеств: куба и произведения октаэдров с некоторыми весами. Если заменить куб на шар пространства $l_p^n$, то получается дискретизация задачи о поперечнике пересечения класса Соболева и класса функций с ограничениями на вариацию: $M = \{ f\in AC[0, \, 1]\colon \|\dot{f}\|_{L_p[0, \, 1]}\le 1, \|\dot{f}\|_{L_1\left[ (j-1)/s,\ \ j/s\right]} \le \varepsilon_j/s,\ \ 1\le j \le s\}$. Для достаточно больших $n$ получены порядковые оценки поперечников этих классов с точностью до констант, зависящих только от $p$ и $q$. Оказывается, что если $p>q$ или $p>2$, то эти оценки имеют вид $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s)n^{-1}$, где $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s) \to 0$ при $(\varepsilon_1, \, \dots, \,
\varepsilon_s) \to 0$ (явные формулы для $\varphi$ приведены в тексте статьи). Если $p\le 2$ и $p\le q$, то оценки имеют вид $n^{-1}$ (то есть ограничения на вариацию оценку поперечников при больших $n$ не улучшают). Для доказательства оценок сверху используется результат Э.М. Галеева о пересечении конечномерных шаров. Для доказательства оценок снизу обобщается результат Е.Д. Глускина о поперечнике пересечения куба и октаэдра.

Ключевые слова: поперечники по Колмогорову, классы Соболева, интерполяционные классы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Васильева А.А. Критерий существования гладкой функции при ограничениях // Мат. заметки. 2007. Т. 82, № 3. С. 335–346.

2.   Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976. 304 p.

3.   Тихомиров В.М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). Москва, 1987. C. 103–260.

4.   Pinkus A. n-widths in approximation theory. Berlin: Springer, 1985. 294 p. doi: 10.1007/978-3-642-69894-1 

5.   Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову пересечения классов периодических функций и конечномерных множеств // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 5. С. 749–760.

6.   Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову некоторых конечномерных множеств в смешанной норме. // Мат. заметки. 1995. Т. 58, № 1. С. 144–148.

7.   Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций одной и нескольких переменных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1990. Т. 54, № 2. С. 418–430.

8.   Галеев Э.М. Поперечники функциональных классов и конечномерных множеств // Владикавказский мат. журн. 2011. Т. 13, № 2. С. 3–14.

9.   Глускин Е.Д. Пересечения куба с октаэдром плохо аппроксимируются подпространствами малой размерности // Приближение функций специальными классами операторов: межвуз. сб. научн. тр. / Мин. прос. РСФСР; Вологодский гос. пед. ин-т. Вологда, 1987. С. 35–41.

10.   Изаак А.Д. Поперечники по Колмогорову в конечномерных пространствах со смешанной нормой // Мат. заметки. 1994. Т. 55, № 1. С. 43–52.

11.   Изаак А.Д. Поперечники классов Гёльдера — Никольского и конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 3. С. 459–461.

12.   Малыхин Ю.В., Рютин К.С. Произведение октаэдров плохо приближается в метрике $\ell_{2,1}$ // Мат. заметки. 2017. Т. 101, № 1. С. 85–90.

13.   Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29, №3. С. 161–178.

14.   Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Cер. математическая. 1977. Т. 41, №2. С. 334–351.

15.   Глускин Е.Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных множеств // Мат. сборник. 1983. Т. 120 (162), №. 2. С. 180–189.

16.   Майоров В.Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, № 6. С. 179–180.

17.   Глускин Е.Д. О некоторых конечномерных задачах теории поперечников // Вестн. ЛГУ. 1981. Т. 13. С. 5–10.

18.   Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1968. Т. 23, № 6. С. 51–116.

19.   Fabian M., Habala P., Hajek P., Montesinos Santalucia V., Pelant J., Zizler V. Functional analysis and infinite-dimensional geometry. N Y: Springer, 2001. 451 p. (Ser. CMS Books in Math.) doi: 10.1007/978-1-4757-3480-5 

Поступила 15.03.2019

После доработки 17.05.2019

Принята к публикации 20.05.2019

Васильева Анастасия Андреевна
д-р физ.-мат. наук, доцент
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова,
г. Москва
e-mail: vasilyeva_nastya@inbox.ru

Ссылка на статью: А.А. Васильева. Колмогоровские поперечники классов Соболева на отрезке с ограничениями на вариацию // Тр. Ин-та математики и механикиУрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 48-66.

English

A.A. Vasil’eva. Kolmogorov widths of Sobolev classes on a closed interval with constraints on the variation

We study the problem of estimating Kolmogorov widths in $L_q[0,\,1]$ for the Lipschitz classes of functions with fixed values at several points: $\tilde M=\{f\in AC[0,\,1],\; \|\dot{f}\|_\infty \le 1, \; f(j/s)=y_j, \; 0\le j\le s\}$. Applying well-known results about the widths of Sobolev classes, it is easy to obtain order estimates up to constants depending on $q$ and $y_1, \, \dots, \, y_n$.  Here we obtain order estimates up to constants depending only on $q$. To this end, we estimate the widths of the intersection of two finite-dimensional sets: a cube and a weighted Cartesian product of octahedra. If we take the unit ball of $l_p^n$ instead of the cube, we get a discretization of the problem on estimating the widths of the intersection of the Sobolev class and the class of functions with constraints on their variation: $M=\{ f\in AC[0,\,1]:\;\|\dot{f}\|_{L_p[0, \, 1]}\le 1,\; \|\dot{f}\|_{L_1\left[ (j-1)/s, \, j/s\right]} \le \varepsilon_j/s, \; 1\le j \le s\}$. For sufficiently large $n$, order estimates are obtained for the widths of these classes up to constants depending only on $p$ and $q$. If $p>q$ or $p>2$, then these estimates have the form $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s)n^{-1}$, where $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s) \to 0$ as $(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s) \to 0$ (explicit formulas for $\varphi$ are given in the paper). If $p\le q$ and $p\le 2$, then the estimates have the form $n^{-1}$ (hence, the constraints on the variation do not improve the estimate for the widths). The upper estimates are proved with the use of Galeev's result on the intersection of finite-dimensional balls, whereas the proof of the lower estimates is based on a generalization of Gluskin's result on the width of the intersection of a cube and an octahedron.

Keywords: Kolmogorov widths, Sobolev classes, interpolation classes

Received March 15, 2019

Revised May 17, 2019

Accepted May 20, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00332).

Anastasia Andreevna Vasil’eva, Dr. Phys.-Math. Sci., Assoc. Prof., Lomonosov Moscow State University, faculty on mechanics and mathematics, Moscow, Vorobyovy gory, 1, Main Building of MSU, 119991 Russia, e-mail: vasilyeva_nastya@inbox.ru

Cite this article as: A.A.Vasil’eva. Kolmogorov widths of Sobolev classes on a closed interval with constraints on the variation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 48–66.

[References -> on the "English" button bottom right]