Ю.С. Волков. Сходимость интерполяционных сплайнов четвертой степени ... С. 67-74

УДК 519.65

MSC: 41A05, 41A15, 41A25

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-67-74

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № 0314-2016-0013) и при частичной финансовой поддержке РФФИ и ННИО (проект № 19-51-12008).

Рассмотрена задача интерполяции сплайнами четвертой степени по схеме Марсдена. Показано, что при вычислении интерполяционного сплайна через коэффициенты разложения его второй производной по $L_1$-нормализованным B-сплайнам второй степени приходим к системе линейных уравнений относительно выбранных параметров с пятидиагональной матрицей, имеющей диагональное преобладание по столбцам. Наличие диагонального преобладания позволяет эффективно с практической точки зрения вычислить определяемые параметры и установить сходимость процесса интерполяции сплайнов по Марсдену для любой функции класса $C^1$ на произвольной последовательности сеток без каких-либо ограничений. В схеме Марсдена считается, что задана сетка узлов сплайна, а точки интерполяции выбираются строго посередине. Установленные результаты переносятся на случай интерполяции сплайнами четвертой степени по схеме Субботина (сетки данных и узлов сплайна меняются местами). Здесь система уравнений относительно коэффициентов разложения третьей производной по $L_\infty$-нормализованным B-сплайнам будет иметь диагональное преобладание и сходимость процесса интерполяции будет иметь место для любой интерполируемой функции класса $C^3$.

Ключевые слова: сплайны четвертой степени, интерполяция, сходимость, матрицы с диагональным преобладанием

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. Best approximation and convergence properties of higher-order spline approximations // J. Math. Mech. 1965. Vol. 14, no. 2. P. 231–243.

2.   Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The theory of splines and their applications. N Y: Acad. Press, 1967. 284 p.

3.   Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

4.   Boor C. de. A practical guide to splines. N Y: Springer, 1978. 392 p.

5.   Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

6.   Boor C. de. On the convergence of odd-degree spline interpolation // J. Approxim. Theory. 1968. Vol. 1, no. 4. P. 452–463. doi: 10.1016/0021-9045(68)90033-6 

7.   Волков Ю. С. Вполне неотрицательные матрицы в методах построения интерполяционных сплайнов нечетной степени // Мат. труды. 2004. Т. 7, № 2. C. 3–34.

8.   Волков Ю. С. Интерполяция сплайнами четной степени по Субботину и по Марсдену // Укр. мат. журн. 2014. Т. 66, № 7. C. 891–908.

9.   Ahlberg J. H., Nilson E. N. Convergence properties of the spline fit // J. Soc. Indust. Appl. Math. 1963. Vol. 11, no. 1. P. 95–104. doi: 10.1137/0111007 

10.   Субботин Ю. Н. О кусочно-полиномиальной интерполяции // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 1. C. 63–70.

11.   Marsden M. J. Quadratic spline interpolation // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 80, no. 5. P. 903–906.

12.   Волков Ю. С. Необходимые условия равномерной сходимости интерполяционных сплайнов четвертой и пятой степеней // Вычисл. системы. / ИМ СО АН СССР. Вып. 93: Методы сплайн-функций. Новосибирск, 1982. С. 30–38.

Поступила 1.03.2019

После доработки 25.03.2019

Принята к публикации 1.04.2019

Волков Юрий Степанович
д-р физ.-мат. наук, доцент
главный науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, г. Новосибирск;
профессор
Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск
e-mail: volkov@math.nsc.ru

Ссылка на статью: Ю.С. Волков. Сходимость интерполяционных сплайнов четвертой степени // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 67-74.

English

Yu.S. Volkov. Convergence of quartic interpolation splines

The problem of interpolation by quartic splines according to Marsden's scheme is considered. It is shown that the calculation of an interpolating spline in terms of the coefficients of expansion of its second derivative in $L_1$-normalized quadratic B-splines yields a system of linear equations for the chosen parameters. The matrix of the system is pentadiagonal and has a column diagonal dominance, which makes it possible to efficiently calculate the required parameters and establish the convergence of the spline interpolation process according to Marsden's scheme for any function from the class $C^1$ on an arbitrary sequence of grids without any constraints. In Marsden's scheme, it is assumed that a knot grid is given and the interpolation nodes are chosen strictly in the middle. The established results are transferred to the case of interpolation by quartic splines according to Subbotin's scheme (the node grid and knot grid are swapped). Here the system of equations for the coefficients of expansion of the third derivative in $L_\infty$-normalized B-splines has a diagonal dominance, and the interpolation process converges for any interpolated function from the class $C^3$.

Keywords: quartic splines, interpolation, convergence, diagonally dominant matrices

Received March 1, 2019

Revised March 25, 2019

Accepted April 1, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (state contract no. 0314-2016-0013), and partially by the Russian Foundation for Basic Research and the German Research Foundation (project no. 19-51-12008).

Yuriy Stepanovich Volkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia; Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: volkov@math.nsc.ru

Cite this article as: Yu.S.Volkov. Convergence of quartic interpolation splines, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 67–74.

[References -> on the "English" button bottom right]