А.Г. Ченцов. Суперкомпактные пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем ... C. 240-257

УДК 517.977

MSC: 54А09, 54А10, 54В05

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-240-257

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00410).

Рассматриваются максимальные сцепленные системы (МСС) и ультрафильтры (у/ф) широко понимаемых измеримых пространств (ИП); каждое такое ИП определяется заданием на непустом множестве π-системы его подмножеств с “нулем” и “единицей” (π-система есть семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений). Среди π-систем выделяются полуалгебры и алгебры множеств, а также топологии и семейства замкнутых множеств в топологических пространствах. Исследуется проблема суперкомпактности пространства у/ф в оснащении топологией волмэновского типа, а также некоторые свойства битопологических пространств, точками которых являются МСС и у/ф соответствующего ИП. Исследуются условия на ИП, при которых МСС и у/ф отождествимы, что позволяет оснащать множество у/ф суперкомпактной топологией волмэновского типа, непосредственно используя аналогичную конструкцию для пространства МСС. Указаны также некоторые варианты ИП с алгебрами множеств, для которых волмэновское оснащение пространства у/ф суперкомпактно, хотя, вообще говоря, для соответствующего ИП существуют МСС, не являющиеся у/ф. В основе данного построения находится специальная конструкция гомеоморфизма волмэновских топологий. Приведены конкретные примеры ИП, для которых реализуется суперкомпактное пространство у/ф.

Ключевые слова: алгебра множеств, гомеоморфизм, максимальная сцепленная система, ультрафильтр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Groot J.de Superextensions and supercompactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis, 1969. P. 89–90.

2.   Mill J. van. Supercompactness and Wallman spaces // Amsterdam. Math. Center Tract. 1977. No. 85. 238 p.

3.   Strok M., Szymanski A. Compact metric spaces have binary subbases // Fund. Math. 1975. Vol. 89, no. 1. P. 81–91. doi: 10.4064/fm-89-1-81-91 

4.   Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006. 336 с.

5.   Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 402 с.

6.   Ченцов А. Г. Суперрасширение как битопологическое пространство // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2017. Т. 49. C. 55–79. doi: 10.20537/2226-3594-2017-49-03 

7.   Ченцов А. Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Вып. 3. С. 122–141. doi: 10.20537/vm170307 

8.   Ченцов А. Г. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 1. C. 257–272. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-257-272 

9.   Ченцов А. Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2018. Т. 52. C. 86–102. doi: 10.20537/2226-3594-2018-52-07 

10.   Dvalishvili B. P. Bitopological spaces: Theory, relations with generalized algebraic structures, and applications. 2005. 422 p. (Ser. Nort-Holland Mathematics Studies, vol. 199.)

11.   Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

12.   Архангельский А. В. Компактность // Итоги науки и техники. Сер. “Современные проблемы математики. Фундаментальные направления”. 1989. Т. 50. C. 7–128.

13.   Грызлов А. А., Бастрыков Е. С., Головастов Р. А. О точках одного бикомпактного расширения N // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. C. 10–17.

14.   Грызлов А. А., Головастов Р. А. О пространствах Стоуна некоторых булевых алгебр // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 1. C. 11–16.

15.   Головастов Р. А. О пространстве Стоуна одной булевой алгебры // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. C. 19–24.

16.   Куратовский К., Мостовский А.Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 c.

17.   Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Едиториал УРСС, 2004. 368 с.

18.   Ченцов А. Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. C. 87–101.

19.   Ченцов А. Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Урал. гос. техн. ун-т — УПИ. Екатеринбург, 2008. 388 c.

20.   Ченцов А. Г. Преобразования ультрафильтров и их применение в конструкциях множеств притяжения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 85–102.

21.   Chentsov A. G., Morina S. I. Extensions and relaxations. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2002. 408 p.

22.   Ченцов А. Г. Об одном представлении результатов действия приближенных решений в задаче с ограничениями асимптотического характера // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 2. C. 225–239.

23.   Богачев В .И. Слабая сходимость мер. Москва; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2016. 395 с.

24.   Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 c.

25.   Ченцов А. Г. К вопросу о представлении компактов Стоуна // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. C. 156–174.

26.   Chentsov A. G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. N Y: Plenum, 1996. 244 p.

Поступила 13.03.2019

После доработки 6.05.2019

Принята к публикации 13.05.2019

Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук, профессор, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Г. Ченцов. Суперкомпактные пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 240-257.

English

A.G. Chentsov. Supercompact spaces of ultrafilters and maximal linked systems

We consider maximal linked systems and ultrafilters of broadly understood measurable spaces; each of these measurable spaces is defined by a π-system of subsets of a nonempty set with “zero” and “one” (a π-system is a family of sets closed under finite intersections). There are specific types of π-systems: semialgebras and algebras of sets as well as topologies and families of closed sets in topological spaces. The problem of supercompactness of an ultrafilter space equipped by a Wallman type topology is studied, and certain properties of bitopological spaces whose points are maximal linked systems and ultrafilters of the corresponding measurable space are analyzed. We also investigate conditions on a measurable space under which maximal linked systems and ultrafilters can be identified, which makes it possible to equip a set of ultrafilters with a supercompact topology of Wallman type by means of a direct application of a similar construction of the space of maximal linked systems. We also give some variants of measurable spaces with algebras of sets for which the Wallman topology of the ultrafilter space is supercompact, although, in general, there exist maximal linked systems of the corresponding measurable space that are not ultrafilters. This scheme is based on a special construction of homeomorphism for Wallman topologies. We give specific examples of measurable spaces for which the supercompact ultrafilter space is realized.

Keywords: algebra of sets, homeomorphism, maximal linked system, ultrafilter

Received March 13, 2019

Revised May 6, 2019

Accepted May 13, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00410).

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia,
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Cite this article as: A.G.Chentsov. Supercompact spaces of ultrafilters and maximal linked systems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 240–257.

[References -> on the "English" button bottom right]