В.Г. Тимофеев. Метод Н.П. Купцова построения экстремальной функции в неравенстве между равномерными нормами производных функций на полуоси ... C. 220-239

УДК 517.518

MSC: 26D10

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-220-239

На классе $L_\infty^4(\mathbb{R}_+)$ функций $f\in C(\mathbb{R}_+)$, имеющих локально-абсолютно непрерывную производную третьего порядка на полупрямой $\mathbb{R}_+$ и таких, что $f^{(4)}\in L_\infty(\mathbb{R}_+),$ исследуется экстремальная функция в точных неравенствах
$$
\| f^{(j)} \| \leq C_{4,j}(\mathbb{R}_+)\, \| f\|^{1-j/4} \, \| f^{(4)} \|^{j/4},\quad j=\overline{1,3},\quad f\in L_\infty^4(\mathbb{R}_+).
$$
Изложен неопубликованный ранее метод Н.П. Купцова построения экстремальной функции, являющейся идеальным сплайном четвертой степени. Метод итерационный, он позволяет находить узлы и коэффициенты сплайна, содержит алгоритм вычисления величин $C_{4,j}(\mathbb{R}_+).$ Предложенный подход  отличается от подхода  Шёнберга и Каваретты (1970), позволяет более глубоко понять структуру задачи.
    
Ключевые слова: неравенство между нормами производных функций, четыре раза дифференцируемые функции,  равномерная норма, полуось

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Landau E. Einige Ungleichungen f$\ddot{\mathrm{u}}$r zweimal differentierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc. (2). 1913. Vol. 13. P. 43–49. doi: 10.1112/plms/s2-13.1.43 

2.   Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Избр. тр. Математика, механика. М.: Наука, 1985. С. 252–263. (Уч. зап. Моск. ун-та. Математика, кн. 3. 1939. Т. 30. C. 3–16.)

3.   Маторин А.П. О неравенствах между наибольшими значениями абсолютных величин функции и ее производных на полупрямой // Укр. мат. журн. 1955. Т. 7. С. 262–266.

4.   Стечкин С.Б. О неравенствах между верхними гранями производных произвольной функции на полуоси // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 6. С. 665–674.

5.   Schoenberg I.J., Cavaretta A. Solution of Landau’s problem, concerning higher derivatives on half-line // M.R.C. Technical Summary Report. 1970. No. 1050. Madison Wis., 1970.

6.   Schoenberg I.J., Cavaretta A. Solution of Landau’s problem, concerning higher derivatives on half-line // Proc. Conf. Approx. Theory (Varna 1970). Sofia, 1972. P. 297–308.

7.   Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 137–148.

8.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6. С. 89–124. doi: https://doi.org/10.4213/rm1019 

9.   Тимофеев В.Г. Колмогоровские оценки в равномерной метрике на полуоси через функцию и ее пятую производную // Математика, механика: сб. тр. Саратов: Изд. Сарат. гос. ун-та, 2000. № 2. С. 122–125.

10.   Тимофеев В.Г. Об одном специальном отображении // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 54–60.

11.   Кудрявцев Л.Д. Дифференцируемые отображения n-мерных областей и гармонические отображения плоских областей // Заседание Моск. мат. об-ва. Успехи мат. наук. 1954. Т. 9, вып. 2 (60). С. 207–209.

12.   Кудрявцев Л.Д. О вариации отображений областей // Математические вопросы теории функций и отображений: сб. докл. коллоквиума по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям. Вып. I. (Донецк, сентябрь 1968 г.) Киев: Изд-во “Наукова думка”, 1969. С. 34–108.

Поступила 9.12.2018

После доработки 6.05.2019

Принята к публикации 20.05.2019

Тимофеев Владимир Григорьевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
Саратовский национальный исследовательский
государственный университет им. Н.Г. Чернышевского,
г. Саратов
e-mail: timofeevvg48@gmail.com

Ссылка на статью: В.Г. Тимофеев. Метод Н.П. Купцова построения  экстремальной функции в неравенстве между равномерными нормами производных функций на полуоси // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 220-239.

English

V.G. Timofeev. N.P. Kuptsov’s method for the construction of an extremal function in an inequality between uniform norms of derivatives of functions on the half-line

On the class $L_\infty^4(\mathbb{R}_+)$ of functions $f\in C(\mathbb{R}_+)$ having a locally absolutely continuous third-order derivative on the half-line $\mathbb{R}_+$ and such that $f^{(4)}\in L_\infty(\mathbb{R}_+)$, we study an extremal function in the exact inequalities
$$
\| f^{(j)} \| \leq C_{4,j}(\mathbb{R}_+)\, \| f\|^{1-j/4} \, \| f^{(4)} \|^{j/4},\quad j=\overline{1,3},\quad f\in L_\infty^4(\mathbb{R}_+).
$$
We present N.P. Kuptsov's earlier unpublished method for the construction of an extremal function, which is an ideal spline of the fourth degree. The method is iterative; it finds the knots and coefficients of the spline and calculates the values $C_{4,j}(\mathbb{R}_+)$. The proposed approach differs from the approach of Schoenberg and Cavaretta (1970) and allows to understand the structure of the problem more deeply.

Keywords: inequality between norms of derivatives of functions, four times differentiable functions, uniform norm, half-line

Received December 9, 2018

Revised May 6, 2019

Accepted May 20, 2019

Vladimir Grigor’evich Timofeev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Saratov State University, Saratov, 410012 Russia, e-mail: timofeevvg48@gmail.com

Cite this article as: V.G.Timofeev. N.P.Kuptsov’s method for the construction of an extremal function in an inequality between uniform norms of derivatives of functions on the half-line, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 220–239.

[References -> on the "English" button bottom right]