М.Ш. Шабозов, М.С. Саидусайнов. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам ... C. 258-272

УДК 517.5

MSC: 42C10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-258-272

Пусть $\mathcal{A}(U)$ - множество аналитических в круге $U:=\{z: |z|<1\}$ функций $f$;\ $L_{2}^{(r)}:=L_{2}^{(r)}(U)$ - класс функций $f\in\mathcal{A}(U)$, у которых $f^{(r)}\in L_{2}^{(r)},\ r\in\mathbb{N}$;\ $W^{(r)}L_{2}$ - класс функций $f\in L_{2}^{(r)}$, удовлетворяющих ограничению $\|f^{(r)}\|\leq 1$. В статье найдены точные значения среднеквадратических приближений функций $f\in W^{(r)}L_{2}$ и их последовательных производных $f^{(s)} (1\leq s\leq r-1,\ r\geq 2)$ в метрике пространстве $L_{2}$. Аналогичная задача решена на классе $W_{2}^{(r)}(\mathscr{K}_{m},\Psi)\ (r\in\mathbb{Z}_{+},\ m\in\mathbb{N})$ - функций $f\in L_{2}^{(r)}$,  $\mathscr{K}$-функционал $r$-й производной которых удовлетворяет условию
\begin{equation*}
\mathscr{K}_{m}(f^{(r)},t^{m})\leq\Psi(t^{m}),\quad 0<t<1,
\end{equation*}
где $\Psi$ - некоторая возрастающая мажоранта, $\Psi(0)=0$.

Ключевые слова: обобщенный модуль непрерывности, оператор обобщенного сдвига, ортонормированная система, неравенство Джексона - Стечкина, $\mathscr{K}$-функционал

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л.: Наука, 1964, 440 с.

2.   Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве $L_{2}(D,p(z))$  // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 50, № 6. С. 999–1004.

3.   Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, № 1. С. 86–97. doi: 10.23671/VNC.2018.1.11400 .

4.   Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве $L_2$  и значения $n$-поперечников // Мат. заметки. 2018. Т. 103, вып. 4. С. 617–631.

5.   Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова думка, 1992. 227 с.

6.   Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из $L_2$  // Мат. заметки. 2005. Т. 78, вып. 5. С. 792–796.

7.   Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в $L_2$  // Мат. заметки. 2006. Т. 80, вып. 1. С. 11–19.

8.   Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в $L_2$  // Analysis Math. 2012. Т. 38, No. 2. С. 147–159.

9.   Shabozov M.Sh., Vakarchuk S.B., Zabutnaya V.I. Structural characteristics of functions from $L_2$  and the exact values of widths of some functional classes // J. Math. Sci. 2015. Vol. 206, no. 1. P. 97–114.

10.   Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Мат. сборник. 2010. Т. 201, № 8. С. 3–22.

11.   Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие методы приближения и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве $H_{q,\rho}, \ 1\leq q\leq\infty, \ 0<\rho\leq 1$ // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 2 (336). С. 469–480.

12.   Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. Москва: Мир, 1980. 264 c.

13.   Mhaskar N.H. Weighted polynomial approximation // J. Approx. Theory. 1986. Vol. 46, no. 1. P. 100–110.

14.   Ditzian Z., Totik V. $\mathscr{K}$-functionals and best polynomial approximation in weighted $L^{p}(\mathbb{R})$  // J. Approx. Theory. 1986. Vol. 46, no. 1. P. 38–41.

15.   Вакарчук С.Б. Приближение функций в среднем на вещественной оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева — Эрмита и поперечники функциональных классов // Мат. заметки. 2014. Т. 95, № 5. С. 666–684.

16.   Шабозов М.Ш., Тухлиев К. $\mathscr{K}$-функционалы и точные значения $n$-поперечников некоторых классов из $L_2\big((\sqrt{1-x^{2}})^{-1},[-1,1]\big)$  // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. № 1-1. С. 83–97.

17.   Saidusaynov M.S. $\mathscr{K}$-functionals and exact values of $n$-widths in the Bergman space // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, № 2(5). P. 74–81.

18.   Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических в круге функций // Вiснiк Днiпропетровского унiверситету. Cер.: Математика. 2012. Т. 20, № 6/1. C. 82–88.

Поступила 28.02.2019

После доработки 24.05.2019

Принята к публикации 27.05.2019

Шабозов Мирганд Шабозович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Таджикский национальный университет;
Университет Центральной Азии
г. Душанбе, Республика Таджикистан
e-mail: shabozov@mail.ru

Саидусайнов Муким Саидусайнович
канд. физ.-мат. наук
Таджикский национальный университет;
Университет Центральной Азии,
г. Душанбе, Республика Таджикистан
e-mail: smuqim@gmail.com

Ссылка на статью: М.Ш. Шабозов, М.С. Саидусайнов. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье  по ортогональным системам // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 258-272.

English

M.Sh. Shabozov, M.S. Saidusainov. Mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier sums in orthogonal systems

Assume that $\mathcal{A}(U)$ is the set of functions analytic in the disk $U:=\{z: |z|<1\}$, $L_2^{(r)}:=L_2^{(r)}(U)$ for $r\in\mathbb{N}$ is the class of functions $f\in\mathcal{A}(U)$ such that $f^{(r)}\in L_2^{(r)}$, and $W^{(r)}L_2$ is the class of functions $f\in L_2^{(r)}$ satisfying the constraint $\|f^{(r)}\|\leq 1$. We find exact values for mean-square approximations of functions $f\in W^{(r)}L_2$ and their successive derivatives $f^{(s)}$ ($1\leq s\leq r-1$, $r\geq 2$) in the metric of the space $L_2$. A similar problem is solved for the class $W_2^{(r)}(\mathscr{K}_{m},\Psi)$ ($r\in\mathbb{Z}_{+}$, $m\in\mathbb{N}$) of functions $f\in L_2^{(r)}$ such that the $\mathscr{K}$-functional of their $r$th derivative satisfies the condition \begin{equation*} \mathscr{K}_{m}\left(f^{(r)},t^{m}\right)\leq\Psi(t^{m}), \ \ 0<t<1, \end{equation*}
where $\Psi$ is some increasing majorant and $\Psi(0)=0$.

Keywords: generalized modulus of continuity, generalized translation operator, orthonormal system, Jackson-Stechkin inequality, $\mathscr{K}$-functional

Received February 28, 2019

Revised May 24, 2019

Accepted May 27, 2019

Mirgand Shabozovich Shabozov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Tajik National University, Dushanbe, 734025 Republic of Tajikistan; University of Central Asia, Dushanbe, SPCE, 734013 Republic of Tajikistan, e-mail: shabozov@mail.ru.

Mukim Saidusaynovich Saidusaynov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Tajik National University, Dushanbe, 734025 Republic of Tajikista; University of Central Asia, Dushanbe, SPCE, 734013 Republic of Tajikistan, e-mail: smuqim@gmail.com.

Cite this article as: M.Sh.Shabozov, M.S.Saidusainov. Mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier sums in orthogonal systems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 258–272.

[References -> on the "English" button bottom right]