Н.С. Паюченко. Слабое неравенство Маркова для алгебраических многочленов на отрезке ... C. 160-166

УДК 517.518.862

MSC: 26D10

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-160-166

Работа выполнена при поддержке Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (Постановление Правительства РФ № 211 от 16 марта 2013 г., соглашение № 02.A03.21.0006 от 27 августа 2013 г.).

Для вещественного алгебраического многочлена $P_n$ степени $n$ рассмотрим отношение $M_n(P_n)$ меры множества точек отрезка $[-1,1]$, в которых модуль производной превосходит $n^2$, к мере множества точек, в которых модуль многочлена превосходит 1. Изучается точная верхняя грань $M_n = \sup M_n(P_n)$ по множеству многочленов $P_n$ с равномерной нормой на $[-1,1]$, большей 1. Известно, что величина $M_n$ является супремумом точных констант в неравенстве Маркова по классу интегральных функционалов, порожденных неубывающей неотрицательной функцией. Результатом работы являются следующие оценки: $ 1+3/(n^{2}-1)\le M_n \le 6n+1,$ $n\ge2.$

Ключевые слова: неравенство Маркова, алгебраические многочлены, мера Лебега, неравенства слабого типа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Sroka G. Constants in V.A. Markov’s inequality in $L_p$  norms // J. Approx. Theory. 2015. Vol. 194. P. 27–34. doi: 10.1016/j.jat.2014.12.010 

2.   Глазырина П.Ю. Точное неравенство Маркова — Никольского для алгебраических многочленов в пространствах $L_q$, $L_0$  на отрезке // Мат. заметки. 2008. T. 84, № 1. С. 3–22.

3.   Milovanovic G. V Mitrinovic D. S. Rassias Th. M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Sci. Publ., 1994. 821 p. doi: 10.1142/1284 

4.   Goetgheluck P. On the Markov inequality in $L^p$-spaces // J. Approx. Theory. 1990. Vol. 62. P. 197–205. doi: 10.1016/0021-9045(90)90032-L 

5.   Arestov V. V. Algebraic polynomials least deviating from zero in measure on a segment // Ukranian Math. J. Vol. 2010. Vol. 62, no. 3. P. 331–342. doi: 10.1007/s11253-010-0357-z 

6.   Бабенко А. Г. Неравенства слабого типа для тригонометрических полиномов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 2 С. 34–41.

7.   Лившиц Е. Д. Неравенство слабого типа для равномерно ограниченных тригонометрических полиномов // Тр. МИАН. 2013. Т. 280. С. 215–226. doi: 10.1134/S0371968513010147 

8.   Вороновкая Е. В. Функционал первой производной и уточнение теоремы А. А. Маркова // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1959. Т. 23, № 6. C. 951–962.

9.   Гусев В. А. Функционалы производных от алгебраического полинома и теорема В. А. Маркова // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1961. Т 25, № 3. C. 367–384.

10.   Вороновкая Е. В. Метод функционалов и его приложения. Ленинград: Изд-во Ленинградского электротехнического Ин-та связи, 1963. 181 с.

11.   Borwein P., Erdeyi T. Polynomials and polynomial inequalities. 1995. 480 p. (Graduate Texts in Math.; vol. 161.) doi: 10.1137/1038150 

Поступила 2.04.2019

После доработки 13.05.2019

Принята к публикации 20.05.2019

Паюченко Никита Славич
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
аспирант
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: aueiyo@gmail.com

Ссылка на статью: Н.С. Паюченко. Слабое неравенство Маркова для алгебраических многочленов на отрезке // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 160-166.

English

N.S. Payuchenko. Markov’s weak inequality for algebraic polynomials on a closed interval

For a real algebraic polynomial $P_n$ of degree $n$, we consider the ratio $M_n(P_n)$ of the measure of the set of points from $[-1,1]$ where the absolute value of the derivative exceeds $n^2$ to the measure of the set of points where the absolute value of the polynomial exceeds 1. We study the supremum $M_n=\sup M_n(P_n)$ over the set of polynomials $P_n$ whose uniform norm on $[- 1,1]$ is greater than 1. It is known that $M_n$ is the supremum of the exact constants in Markov's inequality in the class of integral functionals generated by a nondecreasing nonnegative function. In this paper we prove the estimates $1+3/(n^{2}-1)\le M_n \le 6n+1$ for $n\ge2$.

Keywords: Markov's inequality, algebraic polynomials, Lebesgue measure, weak-type inequalities

Received April 2, 2019

Revised May 13, 2019

Accepted May 20, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Nikita Slavich Pauchenko, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: aueiyo@gmail.com

Cite this article as: N.S.Pauchenko. Markov’s weak inequality for algebraic polynomials on a closed interval, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 160–166.

[References -> on the "English" button bottom right]