Е.А. Плещева. Приближение функций $n$-раздельными всплесками в пространствах $L^p(\mathbb{R}),\ 1 \leq p \leq \infty$ ... C.167-176

УДК 517.5

MSC: 42C40

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-167-176

В работе рассматриваются построенные автором ранее ортонормированные базисы $n$-раздельных КМА и всплесков. В классическом случае базис пространства ${L}^2(\mathbb{R})$ образован сдвигами и сжатиями единственной функции $\psi$. В отличие от классического случая, в данной статье несколько базисов пространства $L^2(\mathbb{R})$ образованы сдвигами и сжатиями $n$ функций $\psi^s,\ s=1,\ldots,n$. Построенные $n$-раздельные всплески образуют ортонормированный базис пространства  $L^2(\mathbb{R})$. В этом случае ряд $\sum_{s=1}^{n}\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\langle f, \psi^s_{nj+s,k} \rangle \psi^s_{nj+s,k}$ сходится к функции $f$ в пространстве $L^2(\mathbb{R})$.  Мы привели дополнительные ограничения на функции $\varphi^s$ и $\psi^s,\ s=1,\ldots,n$, обеспечивающие сходимость такого ряда к функции $f$ в пространствах ${L}^p(\mathbb{R}),\ 1 \leq p \leq \infty$ по норме и почти всюду.

Ключевые слова: всплеск, масштабирующая функция, базис, кратномасштабный анализ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Плещева Е.А. Новое обобщение ортогональных базисов всплесков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 2. С. 264–271. doi: 10.1134/S0081543811050130 

2.   Hernandez E., Weiss G. A first course on wavelets. London, N Y etc: CRC Press, Inc., 1996. 493 p. (Studies in Advanced Math.) doi: 10.1201/9781420049985 

3.   Берколайко М.З., Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем // Мат. заметки. 1994. Т. 56, № 3. С. 3–12.

Плещева Екатерина Александровна
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
доцент кафедры математического анализа
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: eplescheva@gmail.com

Ссылка на статью: Е.А. Плещева.  Приближение функций $n$-раздельными всплесками в пространствах $L^p(\mathbb{R}),\ 1 \leq p \leq \infty$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 167-176.

English

E.A. Pleshcheva. Approximation of functions by $n$-separate wavelets in the spaces ${L}^p(\mathbb{R})$, $1\leq p\leq\infty$

We consider the orthonormal bases of $n$-separate MRAs and wavelets constructed by the author earlier. The classical wavelet basis of the space $L^2(\mathbb{R})$ is formed by shifts and compressions of a single function $\psi$. In contrast to the classical case, we consider a basis of $L^2(\mathbb{R})$ formed by shifts and compressions of $n$ functions $\psi^s$, $s=1,\ldots,n$. The constructed $n$-separate wavelets form an orthonormal basis of $ L^2(\mathbb{R})$. In this case, the series $\sum_{s=1}^{n}\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\langle f,\psi^s_{nj+s} \rangle \psi^s_{nj+s}$ converges to the function $f$ in the space $L^2(\mathbb{R})$. We write additional constraints on the functions $\varphi^s$ and $\psi^s$, $s=1,\ldots,n$, that provide the convergence of the series to the function $f$ in the spaces $L^p(\mathbb{R})$, $1 \leq p \leq \infty$, in the norm and almost everywhere.

Keywords: wavelet, scaling function, basis, multiresolution analysis

Received March 19, 2019

Revised May 15, 2019

Accepted May 20, 2019

Ekaterina Aleksandrovna Pleshcheva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: eplescheva@gmail.com

Cite this article as: E.A.Pleshcheva. Approximation of functions by $n$-separate wavelets in the spaces ${L}^p(\mathbb{R})$, $1\leq p\leq\infty$., Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 167–176.

[References -> on the "English" button bottom right]