В.В. Напалков, В.В. Напалков (мл.). К вопросу о совпадении гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, связанных специальным преобразованием ... C. 149-159

УДК 517.444

MSC: 46E22, 47B32, 30H05, 32A38

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-149-159

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 17-41-020070).

Рассматриваются два гильбертовых пространства $H_1$ и $H_2$  с воспроизводящими ядрами, состоящие из комплекснозначных функций, заданных на некоторых множествах точек  $\Omega_1\subset  {\mathbb C}^n,\,\Omega_2\subset {\mathbb C}^m$ соответственно. Нормы в пространствах $H_1$ и $H_2$  имеют интегральный вид
\begin{align*}
\|f\|_{H_1}^2=\int_{\Omega_1}|f(t)|^2\,d\mu_1(t), \ \  f\in H_1,\quad
\|q\|_{H_2}^2=\int_{\Omega_2}|q(z)|^2\,d\mu_2(z), \ \  q\in H_2.
\end{align*}
Пусть $\{E(\cdot,z)\}_{z\in \Omega_2}$ - некоторая полная система функций в пространстве $H_1$.
Обозначим
\begin{align*}
\widetilde f(z)\stackrel{{\rm def}}{=}(E(\cdot, z), f)_{H_1}\  \forall z\in \Omega_2,\ \  \widetilde H_1=\{\widetilde f,\, f\in H_1\},
 (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H_1}\stackrel{{\rm def}}{=}(f_2,f_1)_{H_1},
\|\widetilde f_1\|_{\widetilde H_1}=\|f_1\|_{H_1}\ \ \forall \widetilde  f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H_1.
\end{align*}
В работе изучается вопрос, когда  гильбертовы пространства $\widetilde H_1$ и $H_2$ совпадают, т. е.   состоят из одних и тех же  функций, и нормы    этих пространств равны. В работе получен критерий. Доказано, например,  для того чтобы $\widetilde H_1$ совпадало с $H_2$, необходимо и достаточно существование линейного непрерывного взаимно-однозначного унитарного  оператора ${\cal A}$, действующего из пространства $\overline H_1$ на пространство $H_2$, который для любого $\xi\in \Omega_1$ переводит функцию  $K_{\overline H_1}(\cdot,\xi)$  в функцию $E(\xi,\cdot)$. Здесь $\overline H_1$ - пространство, состоящее из функций  комплексно-сопряженных к функциям из $H_1$, $K_{\overline H_1}(t,\xi),\, t,\xi\in \Omega_1,$ - воспроизводящее ядро пространства $\overline H_1$. Получены и другие, эквивалентные, утверждения. Также получено необходимое и достаточное  условие, при выполнении которого  пространства $H_1$ и $H_2$ совпадают.

Ключевые слова:  cистемы разложения подобные ортогональным, гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, задача описания сопряженного пространства

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Aronszajn N. Theory of reproducing kernels // Transactions of the AMS. 1950. Vol. 68, no. 3. P. 337–404. doi: 10.1090/S0002-9947-1950-0051437-7 

2.   Berlinet A., Thomas–Agnan C. Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics. N Y: Kluwer Acad. Publ., 2001. 355 p.

3.   Bargmann V. On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform // Comm. Pure Appl. Math. 1961. Vol. 1, no. 14. C. 187–214. doi: 10.1002/cpa.3160140303 

4.   Напалков В.В. (мл.), Юлмухаметов Р.С. . Весовые преобразования Фурье — Лапласа аналитических функционалов в круге // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 11. C. 139–144.

5.   Напалков В.В. (мл.), Юлмухаметов Р.С. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 1. C. 68–78.

6.   Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. математическая. 2004. Т. 68, №1. C. 5–42.

7.   Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1977. 616 с.

8.   Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Изв. РАН. Cер. математическая. 1998. Т. 62, № 5. С. 187–206.

9.    Напалков В.В. (мл.) Ортоподобные системы разложения в пространствах с воспроизводящим ядром// Уфим. мат. журн. 2013. Т. 5, № 4. C. 91–104.

10.   Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. Т. 1. Москва: ИЛ, 1962. 896 с.

11.   Напалков В.В., Напалков В.В. (мл.). Об изоморфизме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. C. 665–667.

Поступила 31.01.2019

После доработки 27.03.2019

Принята к публикации 29.04.2019

Напалков Валентин Васильевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики c ВЦ УФИЦ РАН,
г. Уфа
e-mail: vnap@matem.anrb.ru

Напалков Валерий Валентинович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики c ВЦ УФИЦ РАН,
г. Уфа
e-mail: vnap@mail.ru

Ссылка на статью: В.В. Напалков, В.В. Напалков (мл.). К вопросу о совпадении гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, связанных специальным преобразование // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 149-159.

English

V.V. Napalkov, V.V. Napalkov, Jr. On the coincidence of reproducing kernel Hilbert spaces connected by a special transformation

We consider two reproducing kernel Hilbert spaces $H_1$ and $H_2$ consisting of complex-valued functions given on some sets $\Omega_1\subset  {\mathbb C}^n$ and $\Omega_2\subset {\mathbb C}^m$, respectively. The norms in $H_1$ and $H_2$ have integral form:
$$ \| f\|_{H_1}^2=\int_ {\Omega_1}|f (z)|^2\, d\mu(z), \ \  f\in H_1;\ \ \ \ \ \| q\|_{H_2}^2=\int_{\Omega_2}|q(t)|^2\,d\nu(t), \ \ q\in H_2. $$
Let $\{E(\cdot,z)\}_{z\in \Omega_2}$ be some complete system of functions in the space $H_1$. Define
\begin{align*}
\widetilde f(z)\stackrel{\rm def}{=}(E(\cdot, z), f)_{H_1}\   \forall z\in \Omega_2,\ \  \widetilde H_1=\{\widetilde f,\, f\in H_1\},
 (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H_1}\stackrel{\rm def}{=}(f_2,f_1)_{H_1},
\|\widetilde f_1\|_{\widetilde H_1}=\|f_1\|_{H_1}\ \ \forall \widetilde  f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H_1.
\end{align*}
We study the question of coincidence of the spaces $\widetilde H_1$ and $H_2$, i.e., the conditions under which these spaces consist of the same functions and have equal norms. The following criterion of coincidence is obtained: $\widetilde H_1=H_2$ if and only if there exists a linear continuous one-to-one unitary operator ${\cal A}$ from $\overline H_1$ onto $H_2$ that for any $\xi\in \Omega_1$ takes the function $K_{\overline H_1}(\cdot,\xi)$ to the function $E(\xi,\cdot)$. Here $\overline H_1$ is the space consisting of the complex conjugates of functions from $H_1$ and $K_{\overline H_1}(t,\xi)$, $t,\xi\in \Omega_1$, is the reproducing kernel of the space $\overline H_1$. We also obtain some equivalent statements and a criterion for the coincidence of $H_1$ and $H_2$.

Keywords: Bargmann-Fock space, operator of multiplication by a function, expansion systems similar to orthogonal systems, reproducing kernel Hilbert space

Received January 31, 2019

Revised March 27, 2019

Accepted April 29, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 17-41-020070).

Valentin Vasilievich Napalkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member of RAS, Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences, Ufa, 450077 Russia, e-mail: napalkov@matem.anrb.ru

Valerii Valentinovich Napalkov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences, Ufa, 450077 Russia, e-mail: vnap@mail.ru

Cite this article as: V.V.Napalkov, V.V.Napalkov (Jr.). On the coincidence of reproducing kernel Hilbert spaces connected by a special transformation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 149–159 .

[References -> on the "English" button bottom right]