М.И. Сумин. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах ... C. 279-296

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.9+519.853.3

MSC: 49K20, 49N15, 49N45, 47A52

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-279-296

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 19-07-00782).

Рассматривается регуляризация классических принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в выпуклом программировании, оптимальном управлении и обратных задачах. На примере “простейших” задач условной бесконечномерной выпуклой оптимизации обсуждаются два основных вопроса: зачем нужна регуляризация классических условий оптимальности (КУО) и что она дает? Так называемые регуляризованные КУО, о которых идет речь в статье, выражаются в терминах регулярных классических функций Лагранжа и Гамильтона–Понтрягина и являются секвенциальными обобщениями своих классических аналогов. Они: 1) “преодолевают” возможные неустойчивость и невыполнимость КУО, являясь регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач; 2) формулируются как утверждения о существовании в исходной задаче ограниченных минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги и сохраняют общую структуру КУО; 3) приводят к КУО “в пределе”. Все оптимизационные задачи в статье зависят от аддитивно входящего в бесконечномерное ограничение-равенство параметра (метод возмущений). Это позволило изучить связь регуляризованных КУО с субдифференциальными свойствами функций значений рассмотренных оптимизационных задач.

Ключевые слова: оптимальное управление, обратная задача, выпуклое программирование, метод возмущений, принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина, двойственная регуляризация

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна–Таккера в гильбертовом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 9. С. 1594–1615.

2.   Сумин М.И. Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54, № 1. С. 25–49. doi: 10.7868/S0044466914010141 

3.   Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. Москва: МЦНМО, 2011. 1056 с.

4.   Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Москва: Наука, 1979. 432 с.

5.   Сумин М.И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 11. С. 2001–2019.

6.   Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 4. С. 602–625.

7.   Сумин М.И. Параметрическая двойственная регуляризация для задачи оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 12. С. 2083–2102.

8.   Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. Москва: Наука, 1977. 624 с.

9.   Sumin M.I. Regularization of Pontryagin maximum principle in optimal control of distributed systems // Ural Math. J. 2016. Vol. 2, iss. 2. P. 72–86. doi: https://doi.org/10.15826/umj.2016.2.008 .

10.   Sumin M.I. Regularized Lagrange principle and Pontryagin maximum principle in optimal control and inverse problems // IFAC PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 871–876. doi: https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.11.435 

11.   Сумин М.И. Зачем нужна регуляризация принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина и что она дает // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естественные и технические науки. 2018. Т. 23, вып. 124. С. 757–775. doi: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-757-775 

12.   Сумин М.И. Некорректные задачи и методы их решения. Материалы к лекциям для студентов старших курсов. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2009. 289 с.

13.   Сумин М.И. Субоптимальное управление системами с распределенными параметрами: минимизирующие последовательности, функция значений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37, № 1. С. 23–41.

14.   Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. Москва: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 656 с.

15.   Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. CRM Proc. and Lecture Notes. Vol. 2. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993. 158 p.

16.   Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. Москва: Наука, 1971. 104 с.

17.   Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.

18.   Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва: Наука, 1967. 736 с.

19.   Плотников В.И. Энергетическое неравенство и свойство переопределенности системы собственных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1968. Т. 32, № 4. С. 743–755.

20.   Плотников В.И. Теоремы единственности, существования и априорные свойства обобщенных решений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165, № 1. С. 33–35.

21.   Кутерин Ф.А., Сумин М.И. О регуляризованном принципе Лагранжа в итерационной форме и его применении для решения неустойчивых задач // Мат. моделирование. 2016. Т. 28, № 11. С. 3–18.

22.   Кутерин Ф.А., Сумин М.И. Устойчивый итерационный принцип Лагранжа в выпуклом программировании как инструмент для решения неустойчивых задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2017. Т. 57, № 1. С. 55–68. doi: 10.7868/S0044466917010100 

23.   Калинин А.В., Сумин М.И., Тюхтина А.А. Об обратных задачах финального наблюдения для системы уравнений Максвелла в квазистационарном магнитном приближении и устойчивых секвенциальных принципах Лагранжа для их решения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2017. Т. 57, № 2. С. 187–209. doi: 10.7868/S0044466917020089 

24.   Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. Москва: Мир, 1988. 264 с.

25.   Кутерин Ф.А., Сумин М.И. Регуляризованный итерационный принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении I: оптимизация сосредоточенной системы // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26, вып. 4. С. 474–489. doi: 10.20537/vm160403 

26.   Кутерин Ф.А., Сумин М.И. Регуляризованный итерационный принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении II: оптимизация распределенной системы // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27, вып. 1. С. 26–41. doi: 10.20537/vm170103 

27.   Сумин М.И. Принцип максимума в теории субоптимального управления распределенными системами с операторными ограничениями в гильбертовом пространстве // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обзор. ВИНИТИ. 1999. Т. 66. С. 193–235.

Поступила 14.12.2018

После доработки 14.02.2019

Принята к публикации 26.02.2019

Сумин Михаил Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
г. Нижний Новгород
e-mail: m.sumin@mail.ru

Ссылка на статью:  Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 279-296.

Cite this article as:  M.I. Sumin. Regularized Lagrange principle and Pontryagin maximum principle in optimal control and in inverse problems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 279-296. 

English

M.I. Sumin. Regularized Lagrange principle and Pontryagin maximum principle in optimal control and in inverse problems

We consider a regularization of the classical Lagrange principle and Pontryagin maximum principle in convex programming, optimal control, and inverse problems. We discuss two basic questions, why a regularization of the classical optimality conditions (COCs) is necessary and what it gives, using the example of the “simplest” problems of constrained infinite-dimensional convex optimization. The so-called regularized COCs considered in the paper are expressed in terms of the regular classical Lagrange and Hamilton–Pontryagin functions and are sequential generalizations of their classical analogs. They (1) “overcome” the possible instability and infeasibility of the COCs, being regularizing algorithms for the solution of optimization problems, (2) are formulated as statements on the existence of bounded minimizing approximate solutions in the sense of Warga in the original problem and preserve the general structure of the COCs, and (3) lead to the COCs “in the limit.” All optimization problems in the paper depend on an additive parameter in the infinite-dimensional equality constraint (the perturbation method). As a result, it is possible to study the connection of regularized COCs with the subdifferential properties of the value functions of the optimization problems.

Keywords: optimal control, inverse problem, convex programming, perturbation method, Lagrange principle, Pontryagin maximum principle, dual regularization

Received December 14, 2018

Revised February 14, 2019

Accepted February 26, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-07-00782).

Mikhail Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Nizhnii Novgorod State University, Nizhnii Novgorod, 603950 Russia, e-mail: m.sumin@mail.ru

[References -> on the "English" button bottom right]