В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев. Задача управления процессом нагрева стержня с неизвестными температурой на правом конце и плотностью источника тепла ... C. 297-305

Том 25, номер 1, 2019

УДК 519.977

MSC: 49N70, 91A23

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-297-305

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-01-00264_а).

Рассматривается задача управления процессом нагрева стержня с помощью изменения температуры на левом конце стержня. Точные значения температуры на правом конце стержня и функция плотности тепла неизвестны, а заданы только границы областей их возможных значений. Цель процесса управления заключается в том, чтобы в фиксированный момент времени среднее значение температуры стержня находилось в заданном промежутке. Найдены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять начальная температура стержня, чтобы можно было осуществить поставленную цель при любых допустимых неизвестных функциях. Построено соответствующее управление нагревом левого конца стержня.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, температура, управление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Осипов Ю.С. Позиционное управление в параболических системах // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 2. C. 195–201.

2.   Короткий А.И., Осипов Ю.С. Аппроксимация в задачах позиционного управления параболическими системами // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42, № 4. C. 599–605.

3.   Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 c.

4.   Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 c.

5.   Liu J., Zheng G., Ali M.M. Stability analysis of the anti-stable heat equation with uncertain disturbance on the boundary // J. Math. Anal. Appl. 2015. Vol. 428. P. 1193–1201.

6.   Dai J., Ren B. UDE-based robust boundary control of heat equation with unknown input disturbance // IFAC PapersOnLine. 2017. Vol. 50, iss. 1. P. 11403–11408. doi: 10.1016/j.ifacol.2017.08.1801 

7.   Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 c.

8.   Осипов Ю.С., Охезин С.П. К теории дифференциальных игр в параболических системах // Докл. АН. 1976. Т. 226, № 6. C. 1267–1270.

9.   Охезин С.П. Дифференциальная игра сближения-уклонения для параболической системы с интегральными ограничениями на управления игроков // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 2. C. 202–209.

10.   Ukhobotov V.I., Izmest’ev I.V. The problem of controlling the process of heating the rod in the presence of disturbance and uncertainty // IFAC PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 739–742. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.458 

11.   Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Новая серия. 1980. Т. 112, № 3. C. 307–330.

12.   Ухоботов В.И. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями: учеб. пособие. Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун–та, 2005. 124 c.

13.   Ухоботов В.И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой целью // Тр. Ин-та математики и механики Уро РАН. 2010. Т. 16, № 5. C. 196–204.

14.   Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 416 c.

15.   Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1959. Вып. 2. C. 25–32.

16.   Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. 444 c.

17.   Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504 c.

18.   Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 c.

19.   Ильин А.М. Уравнения математической физики: учеб. пособие. М.: Физматлит, 2009. 192 c.

20.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 c.

Поступила 10.12.2018

После доработки 28.12.2018

Принята к публикации 14.01.2019

Ухоботов Виктор Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: ukh@csu.ru

Изместьев Игорь Вячеславович
канд. физ.-мат. наук, младший науч. сотрудник
Челябинский государственный университет
г. Челябинск
e-mail: j748e8@gmail.com

Ссылка на статью:  Ухоботов  В.И.,  Изместьев И.В. Задача управления процессом нагрева стержня  с неизвестными температурой на правом конце и плотностью источника тепла // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 297-305.

Cite this article as:  V.I. Ukhobotov, I.V. Izmest’ev. A control problem for a rod heating process with unknown temperature at the right end and unknown density of the heat source, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki

UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 297-305. 

English

V.I. Ukhobotov, I.V. Izmest’ev. A control problem for a rod heating process with unknown temperature at the right end and unknown density of the heat source

A control problem is considered for the process of heating a rod by varying the temperature at its left end. The exact values of the temperature at the right end of the rod and the heat density function are unknown; only the ranges of their possible values are given. The aim of the control is to ensure that the average temperature of the rod at a fixed time belongs to a given interval. We find necessary and sufficient conditions on the initial temperature of the rod under which the aim of the control can be achieved for any admissible unknown functions. The corresponding heating control at the left end of the rod is constructed.

Keywords: heat equation, temperature, control

Received December 10, 2018

Revised December 28, 2018

Accepted January 14, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 18-01-00264_а).

Viktor Ivanovich Ukhobotov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: ukh@csu.ru

Igor’ Vyacheslavovich Izmest’ev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: j748e8@gmail.com

[References -> on the "English" button bottom right]