В.И. Сумин. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений ... С. 262-278

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.95

MSC: 93C20, 93C23, 35B30, 47B38

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-262-278

Ранее автором была предложена довольно общая форма описания управляемых начально-краевых задач (УНКЗ) с помощью вольтерровых функциональных уравнений вида
$$
z(t)=f\left(t,A[z](t),v(t)\right),\quad t\equiv \mbox{col}\{t^{1},\ldots,t^{n}\} \in \Pi\subset{\mathbb R}^n, 
z\in L_p^m\left( \Pi \right),
$$ где $\Pi$ - заданное ограниченное множество, $f(.,.,.):\Pi \times {\mathbb R}^l\times {\mathbb R}^s\rightarrow {\mathbb R}^m;$ $v(.)\in {\cal D}\subset L_k^s$ - управление; $ A:L_p^m\left( \Pi \right)\rightarrow L_q^l\left( \Pi \right)$ - линейный оператор, вольтерров на некоторой системе $T$ подмножеств $\Pi $  в том смысле, что для любого $H\in T$ сужение $\left. A\left[ z\right]\right| _H$ не зависит от значений $z| _{\Pi\backslash H}$; $p,q,k\in \left[ 1,+\infty \right] $. Это определение вольтерровости - многомерное обобщение известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра. К подобным уравнениям обращением главной части приводятся самые различные УНКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.). Такое описание УНКЗ адекватно многим проблемам теории оптимального управления распределенными системами. В частности, автором была предложена опирающаяся на это описание схема получения достаточных условий устойчивости (при возмущении управления) существования глобальных решений УНКЗ. Схема использует продолжение локальных решений функционального уравнения (т. е. решений на множествах $H\in T$)  вдоль упорядоченной по вложению конечной цепочки множеств $\{H_{1}\subset H_{2}\subset\ldots\subset H_{k-1}\subset H_{k}\equiv\Pi\}$ системы $T.$ При этом используется опирающаяся на принцип сжимающих отображений специальная теорема существования локальных решений. В случае $p=q=k=\infty$ при естественных предположениях возможность применения этого принципа обеспечивается тем, что  оператор правой части  $\Phi_{v}[z\left(.\right)]\left(t\right)\equiv f\left(t,A[z](t),v(t)\right)$ удовлетворяет операторному условию Липшица с квазинильпотентным ``оператором Липшица''. Это позволяет, пользуясь хорошо известными результатами функционального анализа, ввести в пространстве $L_{\infty}^{m}(H)$ такую эквивалентную обычной норму, в которой оператор правой части будет сжимающим. В общем случае $1\leq p,q,k \leq \infty$, охватывающем существенно более широкий круг УНКЗ,  оператор правой части подобному операторному условию Липшица,  вообще говоря, не удовлетворяет. В этом случае введение требуемой для применения принципа сжимающих отображений эквивалентной нормы пространства $L_p^m(H)$ обеспечивает доказываемая в статье теорема об эквивалентной норме. Теорема опирается на понятие суперравностепенной квазинильпотентности семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве. Доказывается конструктивный общий признак суперравностепенной квазинильпотентности семейства операторов, действующих в банаховом идеальном пространстве измеримых функций. Получены удобные для приложений достаточные условия суперравностепенной квазинильпотентности в случае лебеговых пространств.

Ключевые слова: управляемое вольтеррово функциональное уравнение, принцип сжимающих отображений, суперравностепенно квазинильпотентное семейство операторов, теорема об эквивалентной норме

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

2.   Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. 320 c. ISBN: 5-02-006708-3 .

3.   Сумин В.И. Оптимизация управляемых обобщенных вольтерровых систем: дис. …канд. физ.-мат. наук / Горьк. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. Горький, 1975. 158 c.

4.   Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Докл. АН. 1989. Т. 305, № 5. C. 1056–1059.

5.   Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. МГУ. Секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1–25.

6.   Сумин В.И. Равностепенная квазинильпотентность: определения, признаки, примеры применения // Вестн. Тамбов. ун-та. Естественные и технические науки. 2010. Т. 15, Вып. 1. С. 453–466.

7.   Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 6. С. 142–161.

8.   Сумин В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1990. T. 30, № 1. C. 3–21.

9.   Сумин В.И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2097–2109.

10.   Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 110 с.

11.   Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестн. Нижегород. ун-та. Математика. 2003. Вып. 1. С. 91–107.

12.   Лисаченко И.В., Сумин В.И. Нелинейная управляемая задача Гурса — Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, №6. C. 858–870.

13.   Коржавина М.С., Сумин В.И. О начально-краевой задаче для полулинейного параболического уравнения с управляемой главной частью // Вестн. Тамбов. ун-та. Естественные и технические науки. 2018. Т. 23, № 122. С. 317–324. doi: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-317-324 

14.   Чернов А.В. Вольтерровы операторные уравнения и их применение в теории оптимизации гиперболических систем: дис. …канд. физ.-мат. наук / Нижегород. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского. Нижний Новгород, 2000. 177 c.

15.   Чернов А.В. О сходимости метода условного градиента в распределенных задачах оптимизации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 9. С. 1616–1629.

16.   Чернов А.В. О достаточных условиях управляемости нелинейных распределенных систем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, № 8. С. 1400–1414.

17.   Чернов А.В. О гладких конечномерных аппроксимациях распределенных оптимизационных задач с помощью дискретизации управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, № 12. С. 2029–2043.

18.   Chernov A.V. On Volterra functional operator games on a given set // Automat. Remote Control. 2014. Vol. 75, iss. 4. P. 787–803. doi: 10.1134/S0005117914040195 

19.   Chernov A.V. Preservation of the solvability of a semilinear global electric circuit equation // Comput. Math. Math. Physics. 2018. Vol. 58, no. 12. P. 2018–2030. doi: 10.1134/S0965542518120096 

20.   Сумин В.И., Чернов А.В. Вольтерровы функционально-операторные уравнения в теории оптимизации распределенных систем // Динамика систем и процессы управления: Тр. Междунар. конф., посвященной 90-летию со дня рожд. акад. Н. Н. Красовского (Екатеринбург, 2014 г.) / ИММ УрО РАН; УРФУ Екатеринбург, 2015. С. 293–300.

21.   Sumin V. Volterra functional-operator equations in the theory of optimal control of distributed systems // IFAC PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 759–764. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.454 

22.   Сумин В.И. Вольтерровы функционально-операторные уравнения и распределенные задачи оптимизации // Вестн. Тамбов. ун-та. Естественные и технические науки. 2018. Т. 23, № 124. С. 745–756.

23.   Сумин В.И. Вольтерровы функциональные уравнения и оптимизация распределенных систем // Оптимальное управление и дифференциальные игры: Материалы Междунар. конф., посвященной 110-летию со дня рожд. Льва Семеновича Понтрягина (Москва, 2018 г.). М.: МИАН им. В. А. Стеклова РАН; МАКС Пресс. 2018. С. 266–268. doi: 10.4213/proc23049 

24.   Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 368 c.

25.   Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. I // Вестн. Нижегород. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 2 (21). С. 145–155.

26.   Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. II // Вестн. Нижегород. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2001. Вып. 1(23). С. 198–204.

27.   Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. III // Вестн. Нижегород. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2002. Вып. 1(25). С. 164–174.

28.   Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. IV // Вестн. Нижегород. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2004. Вып. 1(27). С. 185–193.

29.   Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестн. Нижегород. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 2(19). С. 138–151.

30.   Сумин В.И. Условия устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для нелинейных параболических уравнений // Вестн. Тамбов. ун-та. Естественные и технические науки. 2000. Т. 5, вып. 4. С. 493–495.

31.   Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 c.

32.   Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 c.

33.   Сумин В.И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах / Депонировано в ВИНИТИ 03.09.98. № 2742 — В98. 96 c.

34.   Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса — Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Т. 21, Вып. 2. С. 52–67. doi: 10.20537/vm110204 

35.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977. 742 с.

36.   Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: ГИФМЛ. 1962. 396 c.

37.   Сумин В.И. О функциональных вольтерровых уравнениях // Изв. вузов. Математика. 1995. № 9. С. 67–77.

38.   Rota G.-C., Strang G. A note on the joint spectral radius // Indag. Math. 1960. Vol. 22. P. 379–381.

39.   Shulman V.S., Turovskii Y.V. Joint spectral radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtynski // J. Func. Anal. 2000. Vol. 177, iss. 2. P. 383–441.

40.   Шульман В.С. Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения: автореферат дис. …докт. физ.-матем. наук / Российский ун-т дружбы народов. М., 2009. 23 c.

41.   Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1402–1411.

42.   Коржавина М.С., Сумин В.И. О краевой задаче для нелинейного параболического уравнения с управлением в начальном условии // Современные методы теории краевых задач : Материалы Междунар. конф. ‘Понтрягинские чтения – XXIX”, посвящ. 90-летию В .А. Ильина. М.: Изд-во МАКС-Пресс, 2018. C. 129–131.

43.   Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука. 1966. 500 c.

Поступила 15.12.2018

После доработки 3.02.2019

Принята к публикации 5.02.2019

Сумин Владимир Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
г. Нижний Новгород
e-mail: v_sumin@mail.ru

Ссылка на статью: В.И. Сумин. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 262-278.

Cite this article as: V.I. Sumin. Controlled Volterra functional equations and the contraction mapping principle, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 262-278. 

English

V.I. Sumin. Controlled Volterra functional equations and the contraction mapping principle.

Earlier the author proposed a rather general form of describing controlled initial-boundary value problems (CIBVPs) by means of Volterra functional equations
$$ z(t)=f\left(t,A[z](t),v(t)\right),\quad t\equiv \mbox{col}\{t^{1},\ldots,t^{n}\} \in \Pi\subset{\mathbb R}^n,\quad z\in L_p^m\left( \Pi \right), $$
where $\Pi$ is a given bounded set, $f(.,.,.):\Pi \times {\mathbb R}^l\times {\mathbb R}^s\rightarrow {\mathbb R}^m$, $v(.) \in {\cal D} \subset L_k^s$ is a control, and $A:L_p^m\left( \Pi \right)\rightarrow L_q^l\left( \Pi \right)$ is a linear operator with the Volterra property on some system $T$ of subsets of $\Pi$ in the sense that for any $H\in T$ the restriction $\left. A \left[z \right] \right |_H$ does not depend on the values of $z| _{\Pi\backslash H}$; here $p,q,k\in \left[ 1,+\infty \right]$. This definition of the Volterra property is a multidimensional generalization of Tikhonov's known definition of a functional operator of Volterra type. Various CIBVPs for nonlinear evolution equations (parabolic, hyperbolic, integrodifferential, with delays, and others) are reduced by the inversion of the principal part to such functional equations. This description of CIBVPs is adequate for many problems of the theory of optimal control of distributed parameter systems. In particular, based on this description, the author found a scheme for deriving sufficient conditions for the stability (under a perturbation of the control) of the existence of global solutions to CIBVPs. The scheme employs the extension of local solutions (i.e., solutions on sets $H\in T$) of a functional equation along a finite chain of sets from the family $T$ ordered by inclusion. This process is realized with the use of a special theorem of the existence of local solutions based on the contraction mapping principle. In the case $p=q=k=\infty$, under natural assumptions, the possibility of applying this principle is provided by the fact that the right-hand side operator $\Phi_{v}[z\left(.\right)]\left(t\right)\equiv f\left(t,A[z](t),v(t)\right)$ satisfies the operator Lipschitz condition with a quasinilpotent ``Lipschitz operator.'' This allows to introduce, using well-known results from functional analysis, a norm in the space $L_{\infty}^m(H)$ equivalent to the usual norm in which the right-hand side operator is contractive.
In the general case $1\leq p,q,k\leq\infty$, which covers a much wider class of CIBVPs, the right-hand side operator may not satisfy such operator Lipschitz condition. In this case, the introduction of an equivalent norm of the space $L_p^m(H)$ required for the application of the contraction mapping principle is provided by the theorem on an equivalent norm proved in the paper. The theorem is based on the notion of  superequipotential quasinilpotency of a family of linear operators acting in a Banach space. A constructive general test is proved for the superequipotential quasinilpotency of a family of operators acting in a Banach ideal space of measurable functions. Sufficient conditions of superequipotential quasinilpotency, which are convenient for applications, are obtained in the case of Lebesgue spaces.

Keywords: controllable Volterra functional equation, contraction mapping principle, equipotentially quasinilpotent family of operators, theorem on an equivalent norm

Vladimir Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod, 603950 Russia, e-mail: v_sumin@mail.ru

Received December 15, 2018

Revised February 3, 2019

Accepted February 5, 2019

Vladimir Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod, 603950 Russia, e-mail: v_sumin@mail.ru

[References -> on the "English" button bottom right]