C.И. Митрохин. Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом ... C. 136-149

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.977

MSC: 47F05, 47A10

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-136-149

В статье исследуется спектр дифференциального оператора высокого нечётного порядка с суммируемым потенциалом. Граничные условия являются периодическими. Дифференциальное уравнение, задающее дифференциальный оператор, сводится к интегральному уравнению Вольтерра. Решая это уравнение методом последовательных приближений Пикара, найдена асимптотика фундаментальной системы решений исходного дифференциального уравнения. С помощью этой фундаментальной системы решений изучены периодические граничные условия. В результате выведено уравнение на собственные значения изучаемого дифференциального оператора. Это уравнение представляет собой определитель высокого порядка, который является целой функцией спектрального параметра. Исследована индикаторная диаграмма, соответствующая этой функции. Индикаторная диаграмма является правильным многоугольником и определяет расположение собственных значений рассматриваемого оператора. В результате в каждом из секторов комплексной плоскости, определяемых индикаторной диаграммой, найдена асимптотика собственных значений исследуемого оператора (15 порядка).

Ключевые слова: спектральный параметр, дифференциальный оператор, суммируемый потенциал, периодические граничные условия, асимптотика решений дифференциального уравнения, асимптотика спектра

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970. 672 с.

2.   Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка // Тр. Моск. мат. общества. 1952. С. 327–420.

3.   Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Мат. сб. 1968. Т. 65, № 4. С. 558–566.

4.   Лидский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1, № 2. С. 52–59.

5.   Садовничий В.А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. сб. 1967. Т. 72, № 2. С. 293–310.

6.   Бабаджанов Б.А., Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Об обратной задаче для квадратичного пучка операторов Штурма — Лиувилля с периодическим потенциалом // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 3. С. 298–305.

7.    Федотов А.А., Щетка Е.В. Комплексный метод ВКБ для разностного уравнения Шредингера, потенциал которого — тригонометрический полином // Алгебра и анализ. 2017. Т. 29, № 2. С. 193–219.

8.   Митрохин С.И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. Математика. Механика. 1986. № 6. С. 3–6.

9.   Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 530–532.

10.   Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. АН. 1997. Т. 356, № 1. С. 13–15.

11.   Абдуллаев А.Р., Скачкова Е.А. Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка // Изв. вузов. Математика. 2013. № 12. С. 3–10.

12.   Баданин А.В., Коротяев Е.Л. Спектральные оценки для периодического оператора четвертого порядка // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22, № 5. С. 1–48.

13.   Поляков Д.М. Спектральный анализ дифференциального оператора четвертого порядка с периодическими и антипериодическими краевыми условиями // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27, № 5. С. 117–152.

14.   Поляков Д.М. О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с периодическими и антипериодическими краевыми условиями // Изв. вузов. Математика. 2015. № 5. С. 75–79.

15.   Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. Математика. 2000. Т. 64, № 4. С. 47–108.

16.   Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Труды МИАН. 2010. Т. 270. С. 188–197.

17.   Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 2. С. 1808–1811.

18.   Митрохин С.И. О спектральных свойствах семейства дифференциальных операторов высокого четного порядка с суммируемым потенциалом // Вест. Волгоград. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2016. № 4. С. 121–135.

19.   Митрохин С.И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфим. мат. журн. 2011. Т. 3, № 4. С. 95–115.

20.   Митрохин С.И. Периодическая краевая задача для дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом // Владикавказ. мат. журн. 2017. Т. 19, № 4. С. 35–49.

21.   Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

22.   Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

Поступила 18.09.2018

После доработки 5.11.2018

Принята к публикации 12.11.2018

Митрохин Сергей Иванович
канд. физ.-мат. наук, доцент, профессор РАЕ,
старший науч. сотрудник,
Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ им. Ломоносова,
г. Москва
e-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

Ссылка на статью:  Митрохин C.И. Асимптотика спектра периодической краевой задачи для дифференциального оператора с суммируемым потенциалом  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 136-149.

Cite this article as: S.I. Mitrokhin. Asymptotics of the spectrum of a periodic boundary value problem for a differential operator with a summable potential, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp.  136-149. 

English

S.I. Mitrokhin. Asymptotics of the spectrum of a periodic boundary value problem for a differential operator with a summable potential

The spectrum of a differential operator of a high odd order with summable potential is studied. The boundary conditions are periodic. The differential equation that defines the differential operator is reduced to the Volterra integral equation. Solving this equation by Picard’s method of successive approximations, we find the asymptotics of the fundamental system of solutions of the original differential equation. This fundamental system of solutions is used for the study of periodic boundary conditions. As a result, an equation for the eigenvalues of the differential operator is derived. This equation is a determinant of high order, which is an entire function of the spectral parameter. The indicator diagram corresponding to this function is investigated. The indicator diagram is a regular polygon and determines the location of the eigenvalues of the operator under consideration. As a result, the asymptotic behavior of the eigenvalues of the operator is found in each of the sectors of the complex plane determined by the indicator diagram (of 15th order).

Keywords: spectral parameter, differential operator, summable potential, periodic boundary conditions, asymptotics of solutions of a differential equation, asymptotics of the spectrum

Received September 18, 2018

Revised November 5, 2018

Accepted November 12, 2018

Sergey Ivanovich Mitrokhin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Prof. of the Russian Academy of Natural Sciences, Scientific-Research Computing Center of the Moscow State University (Lomonosov), Moscow, 119991 Russia, e-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

[References -> on the "English" button bottom right]