Л.С. Маергойз. Cпособы аналитического продолжения многозначных функций одной переменной. Приложение к решению алгебраических уравнений ... C. 120-135

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.547+517.546+517.535+517.953

MSC: 30D20, 30F10, 30C15, 20F70

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-120-135

Эта работа посвящена способам аналитического продолжения многозначной функции одной переменной, заданной на части ее римановой поверхности в форме ряда Пьюизе, порождаемого степенной функцией $z = w^{1/\rho}$, $\rho > 1/2,\ \rho\neq 1$. Представлен многолистный вариант теоремы Д. Пойа о связи между индикаторной и сопряженной диаграммами целой функции экспоненциального типа. Он опирается на конструкцию  В. Бернштейна многолистной индикаторной диаграммы целой функции $f$ порядка $\rho \neq 1$ и нормального типа. Предложено обобщение метода Бореля, позволяющее  найти область  суммируемости "правильного" ряда Пюизе (многолистный "многоугольник Бореля"), что является новым результатом и в случае степенного ряда. Эти утверждения используются для описания областей аналитического продолжения рядов Пюизе, в которые разлагаются обращения рациональных функций. Найден новый подход к решению алгебраических уравнений.

Ключевые слова: целая функция, порядок, индикатор, ряд Пюизе, многозначная функция, многолистные вогнутая, индикаторная и сопряженная диаграммы, риманова поверхность, аналитическое продолжение, решение алгебраических уравнений

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Borel E. Lecons sur les s$\acute{\mathrm{e}}$ries divergentes. Paris: Gaunter-Villars, 1901. 184 p.; 2nd ed. Paris: Gaunter-Villars, 1928. 260 p. (Collection de monographies sur la th$\acute{\mathrm{e}}$orie des fonctions).

2.   Polya G. Untersuchungen $\ddot{\mathrm{u}}$ber L$\ddot{\mathrm{u}}$cken and Singularit$\ddot{\mathrm{a}}$ten von Potenzsrihen // Math. Zeits. 1929. Bd. 29, no. 1. P. 549–640. doi: 10.1007/BF01180553 .

3.   Maergoiz L.S. Asymptotic characteristics of entire functions and their applications in mathematics and biophysics. 2nd ed. (revised and enlarged). Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2003. 362 p.

4.   Bernstein V. Sulle proprieta caratteristiche delle indicatrici di crescenza delle transcendenti intere d’ordine finito // Memoire della classe di scien. fis. mat. e natur. 1936. Vol. 6. P. 131–189.

5.   Levin B.Ya. Lectures on entire functions. Providence: Amer. Math. Soc., 1996. 248 p. (Transl. Math. Monographes; vol. 150).

6.   Rockafellar R.T. Convex analysis. Princeton: Princeton University Press, 1970. 451 p.

7.   Маергойз Л.С. Многолистные варианты теорем Пойа — Бернштейна, Бореля для целых функций порядка $\rho \neq 1$ и их приложения// Докл. АН. 2018. Т. 478, № 3. С. 266–270. doi: 10.1134/S1064562418010131 

8.   Maergoiz L.S. Ways of analytic continuation of many-valued function of one variable. Applications // Internat. conf. “Complex analysis and its applications“ dedicated to the 90th birth anniversary of I. P. Mityuk (Gelendzhik — Krasnodar, Russia, June 2 to 9, 2018). P. 75.

9.   Maergoiz L.S., Manysheeted variants of Polya–Bernstein and Borel theorems for entire functions of order $\rho \neq 1$  and some applications: Preprint / Siberian Federal University. Krasnoyarsk, 2017. 28 p.

10.   Forster O. Riemannsche Fl$\ddot{\mathrm{a}}$chen. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1977. 226 p. doi: 10.1007/978-3-642-66547-9 

11.   Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

12.   Маергойз Л.С. О структуре индикатора целой функции конечного порядка и нормального типа // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. С. 301–313.

13.   Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

14.   Riordan J. An Introduction to сombinatorial analysis, N Y: Jorn Wiley and Sons, 1958. 244 p.

15.   Mellin H.J. R$\acute{\mathrm{e}}$solution de l’$\acute{\mathrm{e}}$quation alg$\acute{\mathrm{e}}$brique g$\acute{\mathrm{e}}$n$\acute{\mathrm{e}}$rale $\grave{\mathrm{a}}$ l’aide de la fonction gamma// C. R. Acad. Sci. 1921. Vol. 172. P. 658–661.

16.   Садыков Т.М., Цих А.К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. М.: Наука, 2014. 408 с.

Поступила 14.11.2018

После доработки 17.01.2019

Принята к публикации 21.01.2019

Маергойз Лев Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Федеральный исследовательский центр
“Красноярский научный центр Сибирского отделения Российской академии наук”
(ФИЦ КНЦ СО РАН) г. Красноярск
e-mail: bear.lion@mail.ru

Ссылка на статью: Маергойз Л.С. Cпособы аналитического продолжения многозначных функций одной переменной. Приложение к решению алгебраических уравнений   // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 120-135.

Cite this article as: Maergoiz L.S. Analytic continuation methods for multivalued functions of one variable and their application to the solution of algebraic equations, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp.  120-135. 

English

L.S. Maergoiz. Analytic continuation methods for multivalued functions of one variable and their application to the solution of algebraic equations

The paper discusses several methods of analytic continuation of a multivalued function of one variable given on a part of its Riemann surface in the form of a Puiseux series generated by the power function $z=w^{1/\rho}$, where $\rho>1/2$ and $\rho\neq 1$. We present a many-sheeted variant of a theorem of G. P$\acute{\mathrm{o}}$lya describing the relation between the indicator and conjugate diagrams for entire functions of exponential type. The description is based on a construction of V. Bernstein for the many-sheeted indicator diagram of an entire function of order $\rho\neq 1$ and of normal type. The summation domain of a "proper" Puiseux series (a many-sheeted "Borel polygon") is found with the use of a generalization of the Borel method. This result seems to be new even in the case of power series. The theory applies to describe the domains of analytic continuation of Puiseux series representing the inverse functions for the rational ones. As but one consequence we elaborate a new approach to solution of algebraic equations.

Keywords: entire function, order, indicator, Puiseux series, multivalued function, many-sheeted diagram, concave diagram, indicator diagram, conjugate diagram, Riemann surface, analytic continuation, solution of algebraic equations

Received November 14, 2018

Revised January 17, 2019

Accepted January 21, 2019

Lev Sergeevich Maergoiz, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Federal Research Center “Krasnoyarsk Science Center of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences”, Academgorodok, 50, Krasnoyarsk, 660036 Russia, e-mail: bear.lion@mail.ru

[References -> on the "English" button bottom right]