П.Д. Лебедев, А.А. Успенский. Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества ... C. 108-119

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.977

MSC: 14H20, 35A18, 37G10, 37G40, 51K10

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-108-119

Работа выполнена при финансовой поддержке постановления № 211 Правительства Российской Федерации, контракт № 02.A03.21.0006.

Для плоской задачи управления по быстродействию с круговой вектограммой скоростей и невыпуклым компактным целевым множеством, имеющим границу с порядком гладкости 1 или 2, разработаны процедуры построения функции оптимального результата. Изучены псевдовершины — характеристические точки границы целевого множества, определяющие характер сингулярности этой функции. Выявлены дифференциальные зависимости для гладких сегментов сингулярного множества, что позволяет их рассматривать и строить в виде дуг интегральных кривых. Найдены необходимые условия существования псевдовершин и получены формулы проекций точек сингулярного множества в окрестности псевдовершин. Предложенные процедуры реализованы в виде вычислительных алгоритмов. Их эффективность проиллюстрирована на примерах численного решения задач управления по быстродействию с различным порядком гладкости границ целевых множеств. Выполнена визуализация результатов.

Ключевые слова: задача быстродействия, сингулярное множество, рассеивающая кривая, функция оптимального результата, псевдовершина, множество симметрии

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2.   Лебедев П.Д., Успенский А.А. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия// Прикл. математика и информатика: тр. фак-та ВМК Моск. ун-та. 2007. № 27. С. 65–79.

3.   Лебедев П. Д., Успенский А. А. Геометрия и асимптотика волновых фронтов// Изв. вузов. Математика. 2008. № 3 (550). С. 27–37.

4.   Ушаков В. Н., Успенский А. А., Лебедев П. Д. Геометрия сингулярных кривых для одного класса задач быстродействия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2013. Вып. 3. С. 157–167.

5.   Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение функции оптимального результата в задаче быстродействия на основе множества симметрии // Автоматика и телемеханика. 2009. № 7. С. 50–57.

6.   Lebebev P.D., Uspenskii A.A., Ushakov V.N. Construction of nonsmooth solutions in one class of velocity problems // Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (dedicated to the memory of V. F. Demyanov), CNSA-2017: Proc. conf. 2017. Article no. 7973981. P. 185–188. doi: 10.1109/CNSA.2017.7973981 

7.   Айзекс Р. Дифференциальные игры. Москва: Мир, 1967. 479 с.

8.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных технологий, 2003. 336 с.

9.   Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона — Якоби типа эйконала. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений. I // Мат. сб. 1975. Т. 98 (140). № 3 (11). С. 450–493.

10.   Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. Москва: Наука, 1981. 384 с.

11.   Sedykh V. D. On the topology of cooriented wave fronts in spaces of small dimensions// Mosc. Math. J. 2011. Vol. 11, no. 3. P. 583–598.

12.   Седых В.Д. О топологии волновых фронтов в пространствах небольших размерностей// Изв. РАН. Сер. математическая. 2012. T. 76, вып. 2. С. 171–214. doi: https://doi.org/10.4213/im8202 

13.   Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. Москва: ФАЗИС, 1996. 334 с.

14.   Giblin P.J., Warder J.P. Evolving evolutoids // American Math. Monthly. 2014. Vol. 121, iss. 10. P. 871–889. doi: 10.4169/amer.math.monthly.121.10.871 

15.   Giblin P.J., Reeve G. Centre symmetry sets of families of plane curves// Demonstratio Mathematica. 2015. Vol. 48, iss. 2. P. 167–192. doi: 10.1515/dema-201-0016 

16.   Местецкий Л. М. Непрерывная морфология бинарных изображений: фигуры, скелеты, циркуляры. Москва: Физматлит, 2009. 288 с.

17.   Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Москва:: “Едиториал УРСС”, 2003. 432 с.

18.   Лейхтвейс К. Выпуклые множества. Москва:: Наука, 1985. 335 с.

19.   Лебедев П. Д., Успенский А .А. Программа построения волновых фронтов и функции евклидова расстояния до компактного невыпуклого множества. Свид-во о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2017662074 от 27.10.2017.

20.   Preparata F.P., Shamos M.I. Computational geometry: An introduction. N Y: Springer-Verlag, 1988.

Поступила 5.12.2018

После доработки 7.02.2019

Принята к публикации 11.02.2019

Лебедев Павел Дмитриевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: pleb@yandex.ru

Успенский Александр Александрович
д-р. физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: uspen@imm.uran.ru

Ссылка на статью:   Лебедев П.Д.,  Успенский А.А. Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 108-119.

Cite this article as: P.D. Lebedev, A.A. Uspenskii. Construction of a nonsmooth solution in a time-optimal problem with a low order of smoothness of the boundary of the target setTrudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp.  108-119. 

English

P.D. Lebedev, A.A. Uspenskii. Construction of a nonsmooth solution in a time-optimal problem with a low order of smoothness of the boundary of the target set

Procedures for the construction of an optimal result function have been developed for a planar time-optimal control problem with a circular velocity vectorgram and nonconvex compact target set whose boundary has smoothness 1 or 2. Pseudovertices, which are characteristic points of the boundary of the target set defining the character of the singularity of this function, are studied. Differential dependences for smooth segments of the singular set are revealed, which allows to consider and construct them as arcs of integral curves. The necessary conditions for the existence of pseudovertices are found and formulas for the projections of points of the singular set in neighborhoods of pseudovertices are obtained. The proposed procedures are implemented in the form of computational algorithms. Their efficiency is illustrated by examples of the numerical solution of optimal-time control problems with different orders of smoothness of the boundaries of the target sets. Visualization of the results is performed.

Keywords: time-optimal problem, singular set, dispersing curve, optimal result function, pseudo-vertex, symmetry set

Received December 5, 2018

Revised February 7, 2019

Accepted February 11, 2019

Funding Agency: This work was supported by Resolution No. 211 of March 16, 2013, of the Government of the Russian Federation (agreement no. 02.A03.21.0006).

Pavel Dmitrievich Lebedev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: pleb@yandex.ru

Aleksandr Aleksandrovich Uspenskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: uspen@imm.uran.ru

[References -> on the "English" button bottom right]