В.В. Арестов. Наилучшее равномерное приближение оператора дифференцирования ограниченными в пространстве $L_2$ операторами ... C. 34-53

УДК 517.518+517.983

MSC: 26D10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-34-56

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Дано решение задачи о наилучшем равномерном приближении на числовой оси оператора дифференцирования первого порядка на классе функций с ограниченной второй производной линейными ограниченными в пространстве $L_2$ операторами. Это  один из немногих случаев точного решения задачи приближения оператора дифференцирования в одном пространстве аппроксимирующими операторами, ограниченными в другом пространстве.   Получено родственное точное неравенство   между равномерной нормой производной функции, вариацией преобразования Фурье функции и $L_\infty$-нормой ее второй производной,  которое можно рассматривать как  неклассический вариант неравенства Адамара - Колмогорова.

Ключевые слова: задача Стечкина, оператор дифференцирования, неравенство Адамара - Колмогорова

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. C. 137–148.

2.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6. С. 89–124. doi: 10.4213/rm1019

3.   Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения Киев: Наук. думка, 2003. 591 c.

4.   Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 c.

5.   Габушин В.Н. Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах // Мат. заметки. 1970. Т. 8, № 5. С. 551–562.

6.   Babenko Yu., Skorokhodov D. Stechkin’s Problem for differential operators and functionals of first and second orders // J. Approx. Theory. 2013. Vol. 167. P. 173–200. doi: 10.1016/j.jat.2012.12.003

7.   Бабенко В.Ф., Парфинович Н.В., Пичугов С.А. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих переменных с ограниченным в $L_\infty$ лапласианом и смежные задачи // Мат. заметки. 2014. Т. 95, вып. 1. C. 3–17. doi: 10.4213/mzm10196

8.   Berdysheva E., Filatova M. On the best approximation of the infinitesimal generator of a contraction semigroup in a Hilbert space // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P. 40–45. doi: 10.15826/umj.2017.2.006

9.   Akopyan R.R. Approximation of the differentiation operator on the class of functions analytic in an annulus // Ural Math. J. 2017, Vol. 3, no. 2. P. 6–13. doi: 10.15826/umj.2017.2.002

10.   Akopyan R.R. Optimal recovery of a derivative of an analytic function from values of the function given with an error on a part of the boundary // Analysis Math. 2018. Vol. 44, iss. 1. P. 3–19. doi: 10.1007/s10476-018-0102-7 

11.   Arestov V.V. On the best approximation of the differentiation operator // Ural Math. J. 2015. Vol. 1, no. 1. P. 20–29. doi: 10.15826/umj.2015.1.002

12.   Arestov V.V., Filatova M.A. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187. P. 65–81. doi: 10.1016/j.jat.2014.08.001

13.   Буслаев А.П., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О существовании экстремальной функции в неравенстве для производных // Мат. заметки. 1982. Т. 32. № 6. С. 823–834.

14.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.

15.   Landau E. Einige Ungleichungen f$\ddot{\mathrm{u}}$r zweimal differentierbare Funktionen // Proc. London Math. Soc. (2). 1913. Vol. 13. P. 43–49. doi: 10.1112/plms/s2-13.1.43 .

16.   Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Избранные тр. Математика, механика. М.: Наука, 1985. С. 252–263. (Уч. зап. Моск. ун-та. Математика, кн. 3, 1939. Т. 30. С. 3–16.)

17.   Hadamard J. Sur le module maximum d’une fonction et de ses d$\acute{\mathrm{e}}$riv$\acute{\mathrm{e}}$es // Soc. Math. France, Comptes rendus des S$\acute{\mathrm{e}}$ances. 1914. Vol. 41. P. 68–72.

18.   Боссе Ю.Г. (Шилов Г.Е.) О неравенствах между производными // Сб. работ студ. научн. кружков МГУ. 1937. Т. 1. С. 68–72.

19.   Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в метрике $L_p$ // Мат. заметки. 1972. Т. 12, № 5. С. 531–538.

20.   Тихомиров В.М., Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства для производных // А.Н. Колмогоров. Избранные тр. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 387–390.

21.   Арестов В.В. Приближение операторов, инвариантных относительно сдвига // Тр. МИАН. 1975. Т. 138. С. 43–70.

22.   Арестов В. В. Приближение операторов типа сверки линейными ограниченными операторами // Тр. МИАН. 1980. Т. 145. C. 3–19.

23.   Арестов В.В. Приближение инвариантных операторов // Мат. заметки. 1983. Т. 34, № 1. C. 9–29.

24.   Арестов В.В. О наилучшем приближении оператора дифференцирования // Приближение функций полиномами и сплайнами: cб. ст. Свердловск, 1985. С. 3–14.

25.   Арестов В.В. Наилучшее приближение неограниченных операторов, инвариантных относительно сдвига, линейными ограниченными операторами // Тр. МИАН. 1992. Т. 198. С. 3–20.

26.   Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 71 с.

27.   Larsen R. An introduction to the theory of multipliers. Berlin etc.: Springer, 1971. 282 p.

28.   Стечкин С.Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Sci. Math. 1965. Vol. 26, № 3–4. P. 225–230 (in Russian).

29.   Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 2. С. 149–154.

30.   Буслаев А.П. О приближении оператора дифференцирования // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 5. С. 731–742.

31.   Domar Y. An extremal problem related to Kolmogoroff’s inequality for bounded functions // Arkiv f$\ddot{\mathrm{o}}$r Mat. 1968. Vol. 7, no. 5. P. 433–441.

32.   Субботин Ю.Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве $L_2$ // Мат. заметки. 1968. Т. 3, № 2. С. 157–164.

33.   Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.

34.   Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

35.   Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978. 432 с.

36.   Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1. М.: Наука, 1967. 488 c.

37.   Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. СПб.: Изд-во Лань, 1997. 800 c.

38.   Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС, 2004. 896 с.

Поступила 01.09.2018

После доработки 08.11.2018

Принята к публикации 12.11.2018

Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Уральский федеральный университет;
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

English

V.V. Arestov. Best uniform approximation of the differentiation operator by operators bounded in the space $L_2$.

We give a solution of the problem on the best uniform approximation on the numerical axis of the first-order differentiation operator on the class of functions with bounded second derivative by linear operators bounded in the space $L_2$. This is one of the few cases of the exact solution of the problem on the approximation of the differentiation operator in some space with the use of approximating operators that are bounded in another space. We obtain a related exact inequality between the uniform norm of the derivative of a function, the variation of the Fourier transform of the function, and the $L_\infty$-norm of its second derivative. This inequality can be regarded as a nonclassical variant of the Hadamard-Kolmogorov inequality.

Keywords: Stechkin problem, differentiation operator, Hadamard-Kolmogorov inequality.

Received September 1, 2018

Revised November 08, 2018

Accepted November 12, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru