Д.Б. Базарханов. Линейное восстановление псевдодифференциальных операторов на классах гладких функций на $m$-мерном торе.I ... С. 57-79

УДК 517.95

MSC: 41A45, 42B05, 35S05, 58J40

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-57-79

Работа выполнена при поддержке гранта AP05133257 МОН РК

В работе строится линейный метод восстановления псевдодифференциальных операторов на $m$-мерном торе с символами из специальных классов, использующий линейную спектральную информацию о символе оператора и о функции (конечные наборы их коэффициентов Фурье). Даются оценки погрешности восстановления в пространстве $L_r(\mathbb{T}^m)$ значений этих псевдодифференциальных операторов на элементах функциональных пространств типа Никольского - Бесова и Лизоркина - Трибеля для ряда соотношений между $r$, параметрами классов символов и функциональных пространств (теорема 1). При доказательстве этих оценок ключевую роль играет ограниченность рассматриваемых псевдодифференциальных операторов между подходящими функциональными пространствами типа Никольского - Бесова (соответственно, Лизоркина - Трибеля) (теорема 2).

Ключевые слова: псевдодифференциальный оператор на $m$-мерном торе, класс символов (типа произведения), функциональное пространство типа Никольского-Бесова/Лизоркина-Трибеля, восстановление оператора, оценки погрешности восстановления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 3: Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1987. 696 c.

2.  Chang S.-Y.A., Fefferman R.  Some recent developments in Fourier analysis and $H^p$-theory on product domains// Bull. Amer Math. Soc.  1985. Vol. 12. P.1-43.

3.  Fefferman R. Harmonic analysis on product spaces // Ann. Math. 1987. Vol. 126, no. 1.  P. 109-130. doi: 10.2307/1971346

4.  Yamazaki M. Boundedness of product type pseudodifferential operators on spaces of Besov type // Math. Nachr. 1987. Vol. 133, no. 1. P. 297-315. doi: 10.1002/mana.19871330120

5.  Carbery A., Seeger A. $H^p$ and $L^p$ variants of multiparameter Calderon-Zygmund theory // Trans. Amer Math. Soc. 1992. Vol. 334, no. 2.  P. 719-747.

6. Stein E.M. Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals.   Princeton: Princeton Univ. Press, 1993. 716 p.

7.  Базарханов Д.Б. Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих переменных. I // Тр. МИ РАН. 2010. Т. 269. С. 8-30.

8.  Базарханов Д.Б. Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих переменных. II // Analysis Math. 2012. Vol. 38, no. 4. С. 249-289. doi: 10.1007/s10476-012-0401-3

9.  Coifman R., Meyer Y. Au-dela des operateurs pseudo-differentiels. Asterisque. 1978. Vol. 57. P. 1-185.

10.  Базарханов Д.Б. $(L_p - L_q)$-ограниченность некоторых псевдодифференциальных операторов на $n$-мерном торе // Мат. заметки. 2017. Т. 102, № 6.   С. 938-942.

11.  Трибель Х.  Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986. 448 p.

12.  Schmeisser H.J., Triebel H. Topics in Fourier analysis and function spaces. Wiley, 1987. 300 p.

13.  Ruzhansky M., Turunen V.  Pseudo-differential operators and symmetries: background analysis and advanced topics. Basel:  Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user Springer, 2009. 709 p.

14.  Никольский С.M.  Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. Москва: Наука, 1977. 456 с.

15.  Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полиа Г.  Неравенства. Москва: Иностр. лит., 1948. 456 с.

16.  Стейн И.,  Вейс. Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М. : Мир, 1974. 336 с.

17.  Никольский С.M. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 244-278.

18.  Бесов О.В.  Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Тр. МИАН. 1961. Т. 60. С. 42-81.

Поступила 09.08.2018 

После доработки 06.11.2018 

Принята к публикации 12.11.2018

Базарханов Дауренбек Болысбекович
канд. физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и математического моделирования,
г. Алматы
e-mail: dauren.mirza@gmail.com

English

D.B. Bazarkhanov. Linear recovery of pseudodifferential operators on classes of smooth functions on an m-dimensional torus. I.

We construct a linear method for the recovery of pseudodifferential operators on an $m$-dimensional torus with symbols from particular classes with the use of linear spectral information on the symbol of the operator and on the function (finite sets of their Fourier coefficients). Error bounds are given for the error of recovery in the space $L_r(\mathbb{T}^m)$ of values of these pseudodifferential operators on elements of Nikol'skii-Besov and Lizorkin-Triebel function spaces for a number of relations between $r$ and the parameters of the symbol classes and the function spaces (Theorem 1). A key role in the proof of the bounds is played by the boundedness of the pseudodifferential operators between appropriate Nikol'skii-Besov (Lizorkin-Triebel) function spaces (Theorem 2).

Keywords: pseudodifferential operator on $m$-dimensional torus, class of symbols (of product type), Nikol'skii-Besov/Lizorkin-Triebel function space, recovery of operator, error bounds of recovery.

Received August 09, 2018

Revised November 06, 2018

Accepted November 12, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (grant no. AP05133257).

Dauren B. Bazarkhanov, Сand. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Institute of Mathematics and Math Modeling, Almaty, 050010 Kazakhstan,
e-mail: dauren.mirza@gmail.com