Р.Р. Акопян. Оптимальное восстановление аналитической в полуплоскости функции по приближенно заданным значениям на части граничной прямой ... С. 34-56

УДК 517.977

MSC: 30A10, 30C80, 30C85, 30E10

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-19-33

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Пусть $\mathcal{H}^p(\Pi_+,\phi)$ - класс аналитических в верхней полуплоскости $\Pi_+$ функций, принадлежащих универсальному классу Харди $N_*,$ с граничными значениями из $L^p_\phi(\mathbb{R})$ с весом $\phi;$    $Q^p(\Pi_+,\mathbb{I},\phi)$ - класс функций $f\in \mathcal{H}^p(\Pi_+,\phi)$ таких, что $\|f\|_{L^p_\phi(\mathbb{R}\setminus\mathbb{I})}\le 1,$ где $\mathbb{I}$ - промежуток (интервал или полупрямая) из $\mathbb{R},$ $1\le p\le\infty.$    На классе $Q^p(\Pi_+,\mathbb{I},\phi)$ в задаче оптимального восстановления значения функции в точке $z_0\in\Pi_+$ по ее приближенно заданным предельным граничным значениям на $\mathbb{I}$ по норме $L^p_\phi(\mathbb{I})$ и взаимосвязанной задаче наилучшего приближения функционала линейными ограниченными функционалами явно выписаны решения - экстремальная функция, оптимальный метод восстановления, функционал наилучшего приближения.    На классе $Q^p(\Pi_+,\mathbb{R}_+,\psi),\, \psi(z)=1/|z|,$ решены задача оптимального восстановления функции на луче $\gamma=\{z\,:\,\arg z=\varphi_0\}$ относительно нормы $L^p_\psi(\gamma)$ по ее приближенно заданным предельным граничным значениям на $\mathbb{R}_+$ по норме $L^p_\psi(\mathbb{R}_+)$ и взаимосвязанная задача наилучшего приближения оператора линейными ограниченными операторами. Для $f\in\mathcal{H}^p(\Pi_+,\psi)$ получено точное неравенство $$  \|f\|_{L^p_{\psi}(\gamma)}\le \|f\|_{L^{p}_{\psi}(-\infty, 0)}^{{\varphi_0}/{\pi}}\, \|f\|_{L_{\psi}^{p}(0, +\infty)}^{1-{\varphi_0}/{\pi}}. $$

Ключевые слова: оптимальное восстановление оператора, наилучшее приближение неограниченного оператора ограниченными операторами, аналитические функции

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. Новосибирск: Наука. 1990. 248 c.

2.   Акопян Р.Р. Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения на классе аналитических в полосе функций // Тр. ИММ УрО РАН. Т. 17,№ 3, 2011. С. 46—54.

3.   Акопян Р.Р. Оптимальное восстановление аналитической функции по заданным с погрешностью граничным значениям // Мат. заметки. 2016. Т. 99, № 2. С. 163–170.

4.   Акопян Р.Р. Наилучшее приближение функционала аналитического продолжения с части границы // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 18-й междунар. Сарат. зимней шк. Саратов: ООО Издательство “Научная книга”, 2016. С. 25–26.

5.   Akopyan R.R. Optimal recovery of a derivative of an analytic function from values of the function given with an error on a part of the boundary // Analysis Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 3–19. doi: 10.1007/s10476-018-0102-7 

6.   Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, no. 2. C. 231–244.

7.   Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН. 1989. Т. 189. C. 3–20.

8.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6 (312). С. 89–124.

9.   Arestov V., Filatova M. Best approximation of the differentiation operator in the space $L_2$ on the semiaxis // J. Approx. Theory. 2014. Vol. 187, no. l. P. 65–81. doi: 10.1016/j.jat.2014.08.001 .

10.   Gonzalez-Vera P., Stessin M.I. Joint spectra of Toeplitz operators and optimal recovery of analytic functions // Constr. Approx. 2012. Vol. 36, no. 1. P. 53–82. doi: 10.1007/s00365-012-9169-8 .

11.   DeGraw A. Optimal recovery of holomorphic functions from inaccurate information about radial integration // Amer. J. Comput. Math. 2012. Vol. 2, no. 4. P. 258–268. doi: 10.4236/ajcm.2012.24035 .

12.    Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 c.

13.   Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. T. 50, № 6. C. 85–93.

14.   Micchelli Ch.A., Rivlin Th.J. A survey of optimal recovery // Optimal estimation in approximation theory. N.Y. etc.: Plenum Press, 1977. P. 1–54. doi: 10.1007/978-1-4684-2388-4_1 .

15.   Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М., Осипенко К.Ю. Неопределенность знания об объекте и точность методов его восстановления // Проблемы передачи информации. 2003. Т. 39, вып 1. С. 118–133.

16.   Osipenko K.Yu. Optimal recovery of analytic functions. Huntington: NJVA Science Publ. Inc., 2000. 229 p. ISBN: 1-56072-821-3 .

17.   Осипенко К.Ю. Неравенство Харди — Литтлвуда — Полиа для аналитических функций из пространств Харди — Соболева // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 3. С. 15–34.

18.   Osipenko K.Y., Stessin M.I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions // Constr. Approx. 2010. Vol. 31. P. 37–67. doi: 10.1007/s00365-009-9043-5 .

19.   Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках // Мат. сб. 2014. Т. 205, № 10. С. 77–106.

Поступила 12.08.2018

После доработки 14.11.2018

Принята к публикации 19.11.2018

Акопян Роман Размикович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет;
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

English

R.R. Akopyan. Optimal recovery of a function analytic in a half-plane from approximately given values on a part of the straight-line boundary.

Let $\mathcal{H}^p(\Pi_+,\phi)$ be the class of functions analytic in the upper half-plane $\Pi_+$ and belonging to the universal Hardy class $N_*$ with boundary values from $L^p_\phi(\mathbb{R})$ with a weight $\phi$, and let $Q^p(\Pi_+,\mathbb{I},\phi)$ be the class of function $f\in \mathcal{H}^p(\Pi_+,\phi)$ such that $\|f\|_{L^p_\phi(\mathbb{R}\setminus\mathbb{I})}\le 1$, where $\mathbb{I}$ is a finite open interval or a half-line from $\mathbb{R}$ and $1\le p\le\infty.$ On the class $Q^p(\Pi_+,\mathbb{I},\phi)$, we consider the problem of optimal recovery of the value of a function at a point $z_0\in\Pi_+$ from its approximately given limit boundary values on $\mathbb{I}$ in the norm $L^p_\phi(\mathbb{I})$ and the related problem of the best approximation of a functional by linear bounded functionals. Explicit solutions of these problems are written: an extremal function, optimal recovery method, and best approximation functional. On the class $Q^p(\Pi_+,\mathbb{R}_+,\psi)$, $\psi(z)=1/|z|$, we solve the problem of optimal recovery of a function on a ray $\gamma=\{z\,:\,\arg z=\varphi_0\}$ with respect to the norm $L^p_\psi(\gamma)$ from its approximately given limit boundary values on $\mathbb{R}_+$ in the norm $L^p_\psi(\mathbb{R}_+)$ and the related problem of the best approximation of an operator by linear bounded operators. For $f\in\mathcal{H}^p(\Pi_+,\psi)$, we obtain the exact inequality $$ \|f\|_{L^p_{\psi}(\gamma)}\le \|f\|_{L^{p}_{\psi}(-\infty, 0)}^{{\varphi_0}/{\pi}}\, \|f\|_{L_{\psi}^{p}(0, +\infty)}^{1-{\varphi_0}/{\pi}}. $$

Keywords: optimal recovery of an operator, best approximation of an unbounded operator by bounded operators, analytic function

Received August 12, 2018

Revised November 14, 2018

Accepted November 19, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Roman Razmikovich Akopyan, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: RRAkopyan@mephi.ru