А.Г. Ченцов, Д.М. Хачай. Релаксация дифференциальной игры сближения-уклонения и методы итераций ... C. 246-269

УДК 519.83

MSC: 49J15, 49K15, 93C15, 49N70

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-246-269

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 16-01-00505.

Для дифференциальной игры сближения-уклонения используется вариант метода программных итераций, называемый итерациями стабильности. Множество успешной разрешимости одной из задач, порождающих игру, определяется в виде предела итерационной процедуры в пространстве множеств, элементами которых являются позиции игры. Последняя определяется в дальнейшем парой замкнутых множеств, одно из которых является целевым в задаче о сближении (задача игрока I), а второе определяет фазовые ограничения в данной задаче. Для позиций, не принадлежащих множеству разрешимости задачи сближения, представляет интерес определение наименьшего “размера” окрестности двух упомянутых множеств, при которых игрок I располагает возможностью гарантированного осуществления наведения на соответствующую данному “размеру” окрестность целевого множества в пределах аналогичной окрестности второго множества, т. е. множества, определяющего фазовые ограничения задачи. Аналогичные построения рассматриваются и для множеств, реализующихся на каждом этапе итерационной процедуры. Используется связь этих построений с ранее упомянутым наименьшим “размером” окрестностей множеств — параметров дифференциальной игры — в смысле гарантированной осуществимости наведения при замене исходных множеств вышеупомянутыми окрестностями.

Ключевые слова: дифференциальная игра сближения-уклонения, метод программных итераций, гарантированное наведение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. C. 1005–1022.

2.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3.   Isaacs R. Differential games. N Y: Wiley, 1965. 384 p.

4.   Berkovitz L. D. Differential games of generalized pursuit and evasion // Appl. Math. Optim. 1988. Vol. 17, no. 1. P. 177–183. doi: 10.1007/BF01448365

5.   Elliott R. J., Kalton N. J. Values in differential games // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 78, no. 3. C. 427–431. doi: 10.1090/S0002-9904-1972-12929-X

6.   Ченцов А. Г. К игровой задаче наведения с информационной памятью // Докл. АН. 1976. Т. 227, № 2. С. 306–309.

7.   Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99 (141), № 3. С. 394–420.

8.   Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1977. 287 c.

9.   Ушаков В. Н., Ершов А. А. K решению задач управления с фиксированным моментом окончания // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2016. Т. 26, вып. 4. C. 543–564. doi: 10.20537/vm160409

10.   Ушаков В. Н., Матвийчук А. Р. К решению задач управления нелинейными системами на конечном промежутке времени // Изв. ИМИ УдГУ. 2015. № 2 (46). C. 202–215.

11.   Ушаков В. Н., Ухоботов В. И., Ушаков А. В., Паршиков Г. В. К решению задач о сближении управляемых систем // Тр. МИАН. Оптимальное управление: К 105-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина. 2015. Vol. 291. C. 276–291.

12.   Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения, I // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1973. № 2. С. 3–18.

13.   Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения, II // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1973. № 3. С. 22–42.

14.   Ченцов А. Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Докл. АН. 1975. Т. 224, № 6. С. 1272–1275.

15.   Чистяков С. В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 5. С. 825–832.

16.   Ухоботов В. И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 2. С. 358–364.

17.   Ченцов A. Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения. Деп. в ВИНИТИ, № 1933-79 / Уральский политехнический институт им. С. М. Кирова. Свердловск, 1979. 103 c.

18.   Ченцов А. Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 2. С. 285–302. doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-2-285-302

19.   Ченцов А. Г. О задаче управления с ограниченным числом переключений. Деп. в ВИНИТИ, № 4942-B87 / Уральский политехнический институт им. С. М. Кирова. Свердловск, 1987. 44 с.

20.   Ченцов А. Г. О дифференциальных играх с ограничением на число коррекций, 2. Деп. в ВИНИТИ, № 5406-80 / Ин-т математики и механики УНЦ АН СССР. Свердловск, 1980. 55 с.

21.   Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 c.

22.   Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

23.   Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.

24.   Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл. АН. 1978. T. 239, № 4. C. 779–782.

25.   Chentsov A. G. The program iteration method in a game problem of guidance // Proc. Steklov Inst. Math. 2017. Vol. 297, suppl. 1. P. 43–61. doi: 10.1134/S0081543817050066

26.   Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1978. Т. 42, № 2. C. 455–467.

27.   Чистяков С. В., Никитин Ф.Ф. Об антагонистических дифференциальных играх с неограниченной продолжительностью // Вест. СПбГУ. 2004. Сер.1, вып. 3. С. 38–44.

28.   Чистяков С. В. Программные итерации и универсальные epsilon-оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре // Докл. АН. 1991. Т. 319, № 6. С. 1333–1335.

29.   Чистяков С. В. О функциональных уравнениях в играх сближения в заданный момент времени // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 5. С. 874–877.

30.   Ченцов А. Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления // Изв. ИМИ УдГУ. 2017. Т. 49. C. 17–54.

Поступила 24.09.2018

После доработки 08.11.2018

Принята к публикации 12.11.2018

Ченцов Александр Георгиевич
чл.-корр. РАН, главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Хачай Даниил Михайлович
математик
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: daniil.khachay@gmail.com

English

A.G. Chentsov, D.M. Khachai. Relaxation of the pursuit-evasion differential game and iterative methods

A variant of the program iteration method called stability iterations is used for a differential game of approach–evasion. The successful solvability set of one of the problems generating the game is found as a limit of the iterative procedure in the space of sets whose elements are positions of the game. The game is defined by a pair of closed sets, one of the which is the objective set in the approach problem (the first player’s problem) and the other specifies the state constraints in this problem. For the positions not belonging to the solvability set of the approach problem, it is interesting to determine the smallest “size” of a neighborhood of the two mentioned sets for which the first player can implement the guidance to the neighborhood of the objective set corresponding to this “size” within the similar neighborhood of the second set, i.e., the set specifying the state constraints. Similar constructions are considered for the sets realized at each stage of the iterative procedure. We use the connection of these constructions with the mentioned smallest “size” of neighborhoods of the sets that are parameters of the differential game in the sense of guaranteed realizability of guidance under the replacement of the original sets by these neighborhoods.

Keywords: differential game of approach–evasion, program iteration method, guaranteed guidance

Received September 24, 2018

Revised November 08, 2018

Accepted November 12, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00505).

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia,
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Daniil Mikhailovich Khachai, graduate student, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Ekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: dmx@imm.uran.ru