И.Г. Царьков. Устойчивость относительного чебышёвского проектора в полиэдральных пространствах ... C. 235-245

УДК 517.982.256

MSC: 41A65

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-235-245

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 16-01-00295) и при поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ-6222.2018.1).

Исследуется задача о структуре и устойчивости чебышёвских центров множества. Для непустого ограниченного множества $M$ в метрическом пространстве $(X,\varrho)$ величина $\operatorname{diam} M =\sup_{x,y\in M}\varrho(x,y)$ называется его диаметром, а величина $r_M:=r(M):=\inf\bigl\{a\geqslant 0, \ x\in X \mid M\subset B(x,a)\bigr\}$ - чебышёвским радиусом. Точка $x_0\in X$, для которой выполнено включение $M\subset B(x_0,r(M),)$ называется чебышёвским центром. Понятие чебышёвского центра и связанные с ним задачи  устойчивости, существования и единственности важны в различных областях математики. Изучается структура множества чебышёвских центров и устойчивость чебышёвского проектора. В пространстве $X=C(Q)$, где $Q$ - нормальное топологическое пространство, дается структурное описание чебышёвского центра множеств, обладающих единственным чебышёвский центром. Под чебышёвским проектором мы понимаем отображение, сопоставляющее непустому ограниченному множеству множество всех его чебышёвских центров. Для непустого ограниченного множества $M$ из пространства $X$ и непустого множества $Y\subset X$ величина $ r_Y(M)=\inf_{y\in Y} r(y,M)$ называется относительным чебышёвским радиусом, где $  r(x,M):=\inf\bigl\{r\ge 0\mid M\subset B(x,r)\bigr\}=\sup_{y\in M}\|x-y\|$. Множество относительных чебышёвских центров определяется как $  \mathrm{Z}_Y(M):=\{y\in Y\mid r(y,M)=r_Y(M)\}$. Отображение $M\mapsto \mathrm{Z}_Y(M)$ называется относительным чебышёвским проектором (относительно множества $Y$). Изучается устойчивость относительного чебышёвского проектора в конечномерных полиэдральных пространствах. В частности, установлено, что в конечномерном полиэдральном пространстве проектор $\mathrm{Z}_Y(\,\cdot\,)$ является глобально липшицевым, если $Y$ - произвольное подпространство.

Ключевые слова: чебышёвский центр, чебышёвский проектор, устойчивость

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Балашов М.В., Иванов Г.Е. Липшицевы параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями // Изв. РАН. Сер. математическая. 2007. T. 71, вып. 6. С. 47–68. doi: 10.4213/im941

2.   Balashov M.V., Repov$\check{\mathrm{s}}$ D. On Pli$\acute{\mathrm{s}}$ metric on the space of strictly convex compacta // J. Convex Anal. 2012. Vol. 19, no. 1. P. 171–183.

3.   Зикратовa И.А., Шаго Ф.Н., Гуртов А.В., Иванинская И.И. Оптимизация зоны покрытия сети сотовой связи на основе математического программирования // Науч.-техн. вестник информ. технологий, механики и оптики. 2015. T. 15, вып. 2. C. 313–321.

4.   Гениатулин К.А. Носов В.И. Применение метода координационных колец при частотно-территориальном планировании системы спутниковой связи с зональным обслуживанием // Вестн. СибГУТИ. 2014. Вып. 1. C. 35–45.

5.   Бычков И.В., Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С., Столбов А.Б. Интеллектная система управления развитием транспортно-логистической инфраструктурой региона // Проблемы управления. 2014. Вып. 1. C. 27–35.

6.   Гусейнов Х.Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // Прикладная математика и механика. 1998. T. 62, вып. 2. C. 179–187.

7.   Иванов В.В. Об оптимальных по точности алгоритмах приближенного решения операторных уравнений I рода // Журн. вычиcлит. математики и мат. физики. 1975. T. 15, вып. 1. C. 3–11.

8.   Ушаков В.Н., Лебедев П.Д., Лавров Н.Г. Алгоритмы построения оптимальных упаковок в эллипсы // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2017. T. 10, вып. 3. C. 67–79. doi: 10.14529/mmp170306

9.   Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71, вып. 1 (427). С. 3–81.

10.   Васильева А.А. Замкнутые промежутки в $C(T)$ и $L_\varphi(T)$  и их аппроксимативные свойства в нормированных пространствах // Мат. заметки. 2003. T. 73, вып. 1, C. 135–138. doi: 10.4213/im496 

11.   Васильева  А.А. Замкнутые промежутки в векторнозначных функциональных пространствах и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН. Сер. математическая. 2004. T. 68, вып. 4. C. 75–116. doi: 10.4213/im496 

12.   Garcia-Ferreira S., Ortiz-Castillo Y.F., Yamauchi T. Insertion theorems for maps to linearly ordered topological spaces // Topol. Appl. 2015. Vol. 188. P. 74–81. doi: 10.1016/j.topol.2015.03.011

13.   Franchetti C., Cheney E.W. The embedding of proximinal sets // J. Approx. Theory 1986. Vol. 4. P. 213–225. doi: 10.1016/0021-9045(86)90006-7

14.   Левитин Е.С. Теория возмущений в математическом программировании и ее приложения. М. : Наука, 1992. 359 c.

15.   Половинкин Е.С.,Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004. 416 c.

16.   Дружинин Ю.Ю. О существовании липшицевой выборки из чебышёвских центров // Мат. сб. 2013. Vol. 204, № 5. P. 25–44. doi: 10.4213/sm8127

17.   Cline A.K. Lipschitz conditions on uniform approximation operators // J. Approx. Theory. 1973. Vol. 8, no. 2. P. 160–172. doi: 10.1016/0021-9045(73)90025-7

18.   Бердышев В.И. Метрическая проекция на конечномерные подпространства из C и L // Мат. заметки. 1975. T. 18, вып. 4. C. 473–488. doi: 10.1007/BF01153037

19.   Bartelt M. On Lipschitz conditions, strong unicity and a theorem of A. K. Cline // J. Approx. Theory. 1975. Vol. 76, no. 3. P. 245–250. doi: 10.1016/0021-9045(75)90072-6

20.   Finzel M. Linear-approximation in $\ell^\infty_n$ // J. Approx. Theory. 1994 Vol. 76, no. 3. P. 326–350. doi: 10.1006/jath.1994.1021

21.   Li W. Hoffman’s theorem and metric projections in polyhedral spaces // J. Approx. Theory. 1993. Vol. 75, no. 1. P. 107–111. doi: 10.1006/jath.1993.1090

22.   Finzel M., Li W. Piecewise affine selections for piecewise polyhedral multifunctions and metric projections // J. Conv. Anal. 2000. Vol. 7, no. 1. P. 97–94.

Поступила 11.09.2018

После доработки 14.11.2018

Принята к публикации 19.11.2018

Царьков Игорь Германович
д-р физ.-мат. наук, профессор
механико-математический факультет
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова,
г. Москва
e-mail: igtsarkov@yandex.ru

English

I.G. Tsar’kov. Stability of the relative Chebyshev projection in polyhedral spaces

The paper is concerned with structural and stability properties of the set of Chebyshev   centers of a set. Given a nonempty bounded subset $M$ of a metric space $(X,\varrho)$, the quantity $\operatorname{diam} M =\sup_{x,y\in M}\varrho(x,y)$ is called the diameter of $M$, and $r_M:=r(M):=\inf\bigl\{a\geqslant 0, \ x\in X \mid M\subset B(x,a)\bigr\}$, the Chebyshev radius of $M$. A point $x_0\in X$ for which $M\subset B(x_0,r(M))$ is called a Chebyshev center of $M$. The concept of a Chebyshev center and related stability, existence and uniqueness problems are important in various branches of mathematics. We study the structure of the set of Chebyshev centers and the stability of the Chebyshev projection (the Chebyshev center map). In the space $X=C(Q)$, where $Q$ is a normal topological space, we describe the structure of the Chebyshev center of sets with a unique Chebyshev center. The Chebyshev projection is the mapping associating with a nonempty bounded set the set of all its Chebyshev centers. Given a nonempty bounded set $M$ of a space $X$ and a nonempty set $Y\subset X$, the relative Chebyshev radius is defined as $ r_Y(M)=\inf_{y\in Y} r(y,M)$, where $  r(x,M):=\inf\bigl\{r\ge 0\mid M\subset B(x,r)\bigr\}=\sup_{y\in M}\|x-y\|$. The set of relative Chebyshev centers is defined as $  \mathrm{Z}_Y(M):=\{y\in Y\mid r(y,M)=r_Y(M)\}$. The mapping $M\mapsto \mathrm{Z}_Y(M)$ is called the relative Chebyshev projection (with respect to the set $Y$). Stability properties of the relative Chebyshev projection in finite-dimensional polyhedral spaces are studied. In particular, in a finite-dimensional polyhedral space, the projection $\mathrm{Z}_Y(\,\cdot\,)$, where  $Y$ is  a subspace, is shown to be globally Lipschitz continuous.

Keywords: Chebyshev center, Chebyshev projection, stability

Received September 11, 2018

Revised November 14, 2018

Accepted November 19, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00295) and by the RF President’s Grant for State Support of Leading Scientific Schools (project no. NSh-6222.2018.1).

Igor’ Germanovich Tsar’kov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Department of Mechanics and Mathematics Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: igtsarkov@yandex.ru