М.Ш. Шабозов, В.Д. Сайнаков. О неравенствах типа Колмогорова в пространстве Бергмана для функций двух переменных ... C. 270-282

УДК 517.5

MSC: 42C10, 47A58, 30E10, 32E05

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-270-282

Пусть $\textbf{z}:=(\xi,\zeta)=(re^{it},\rho e^{i\tau}), 0\leq r,\rho<\infty, 0\leq t,\tau\leq 2\pi,$ - точка двумерного комплексного пространства $\mathbb{C}^{2}$, $U^{2}:=\{\textbf{z}\in\mathbb{C}^{2}: |\xi|<1, |\zeta|<1\}$ - единичный бикруг в $\mathbb{C}^{2}$, $\mathcal{A}(U^{2})$ - класс аналитических в бикруге $U^{2}$ функций, $B_{2}:=B_{2}(U^{2})$ - пространство Бергмана функций $f\in\mathcal{A}(U^{2})$, для которых \begin{equation*}
\|f\|_{2}:=\|f\|_{B_{2}(U^{2})}=\left(\frac{1}{4\pi^{2}}\iint_{(U^{2})}|f(\xi,\zeta)|^{2}d\sigma_{\xi}d\sigma_{\zeta}\right)^{1/2}<+\infty,
\end{equation*} где $d\sigma_{\xi}:=dxdy, d\sigma_{\zeta}:=dudv$, а интеграл понимается  в смысле Лебега. В работе С.Б. Вакарчука и М.Б. Вакарчука (2013) доказано, что при выполнение некоторых условий относительно коэффициентов Тейлора $c_{pq}(f)$ в разложении $f(\xi,\zeta)$ в двойной ряд Тейлора имеет место точное неравенство Колмогорова  вида
$$
\left\|f^{(k-\mu,l-\nu)}\right\|_{2}\leq \mathcal{C}_{k,l}(\mu,\nu) \,\|f\|_{2}^{\mu\nu/(kl)}\,\left\|f^{(k,0)}\right\|_{2}^{(1-\mu/k)\nu/l}\,\left\|f^{(0,l)}\right\|_{2}^{(1-\nu/l)\mu/k}\,\left\|f^{(k,l)}\right\|_{2}^{(1-\mu/k)(1-\nu/l)},
$$
где числовые коэффициенты $\mathcal{C}_{k,l}(\mu,\nu)$ конкретно определены параметрами $k,l\in\mathbb{N}, \mu,\nu\in\mathbb{Z}_{+}$. В данной статье найдено точное неравенство типа Колмогорова для наилучших приближений  $\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f)_{2}$ функций $f\in B_{2}(U^{2})$ обобщенными полиномами (квазиполиномами):
\begin{equation*}\mathscr{E}_{m-k+\mu-1,n-l+\nu-1}\big(f^{(k-\mu,l-\nu)}\big)_{2}\end{equation*}
\begin{equation*}\leq\frac{\alpha_{m,k-\mu}\,\alpha_{n,l-\nu}(m-k+1)^{(k-\mu)/(2k)}(n-l+1)^{(l-\nu)/(2l)}(m+1)^{\mu/(2k)}\,(n+1)^{\nu/(2l)}}{(\alpha_{m,k})^{1-\mu/m}\,(\alpha_{n,l})^{1-\nu/l}\left[(m-k+\mu+1)(n-l+\nu+1)\right]^{1/2}}
\end{equation*} \begin{equation*}
{ } \times \big(\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f)_{2}\big)^{\frac{\mu\nu}{kl}}\,\big(\mathscr{E}_{m-k-1,n-l}\big(f^{(k,0)}\big)_{2}\big)^{(1-\frac{\mu}{k})\frac{\nu}{l}}\end{equation*}
\begin{equation*}{ }\times \big(\mathscr{E}_{m-1,n-l-1}\big(f^{(0,l)}\big)_{2}\big)^{\frac{\mu}{k}(1-\frac{\nu}{l})}\,\big(\mathscr{E}_{m-k-1,n-l-1}\big(f^{(k,l)}\big)_{2}\big)^{(1-\frac{\mu}{k})(1-\frac{\nu}{l})},\end{equation*}
в том смысле, что существует функция $f_{0}\in B_{2}^{(k,l)}$, для которой полученное неравенства обращается в равенство.

Ключевые слова: неравенство типа Колмогорова, пространство Бергмана, аналитическая функция, квазиполином, верхняя грань

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Неравенства для производных и их приложения / В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов. Киев: Наукова думка, 2003, 590 с.

2.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 6. С. 89–124.

3.   Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банаховых пространств аналитических функций. Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии // Cб. науч. работ / Ин-та математики АН УССР. Киев, 1988. С. 4–7.

4.   Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана // Докл. АН РТ. 2007. Т. 50, № 1. С. 14–19.

5.   Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических в круге функций // Вiснiк Днiпропетровского унiверситету. Сер.: Математика. 2012. Т.17, № 6/1. C. 82–88.

6.   Саидусайнов М.С. Точные неравенства типа Колмогорова для функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана. Тр. Междунар. летней мат. шк.-конф. С. Б. Стечкина по теории функций. Душанбе, 2016. С. 217–223.

7.   Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. Неравенство типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации // Укр. мат. журн. 2011. Т. 63, № 12. С. 1579–1601.

8.   Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических в единичном бикруге функций // Вiснiк Днiпропетровского унiверситету. Серия: Математика. 2013. Т.18, №6/1. С. 61–66.

9.   Брудный Ю.А. Приближение функций n переменных квазимногочленами // Изв. АН СССР. Серия: Математика. 1970. Т.34, №3. С. 564–583.

10.   Потапов М.К. О приближении “углом” // Proc. Conf. on Constructive Theory of Functions. Budapesht, 1972. С. 193–206.

11.   Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов // Укр. мат. журн. 1996. Т. 48, № 3. С. 301–308.

12.   Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных // Докл. РАН. 2005. Т. 404, № 4. С. 460–464.

13.   Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л.: Наука, 1964, 440 с.

14.   Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е и Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

15.   Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве $L_2$ и значения n-поперечников // Мат. заметки. 2018. Т. 103, № 4. С. 617–631.

Поступила 03.07.2018

После доработки 19.10.2018

Принята к публикации 22.10.2018

Шабозов Мирганд Шабозович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Таджикский национальный университет,
г. Душанбе
e-mail: shabozov@mail.ru

Сайнаков Восиф Додхудоевич
старший преподаватель
Таджикский технологический университет,
г. Душанбе
e-mail: vosifvoiz@mail.ru

English

M.Sh. Shabozov, V.D. Sainakov. On Kolmogorov type inequalities in the Bergman space for functions of two variables

Suppose that $\textbf{z}:=(\xi,\zeta)=(re^{it},\rho e^{i\tau})$, where $0\leq r,\rho<\infty$ and $0\leq t,\tau\leq 2\pi$, is a point in the two-dimensional complex space $\mathbb{C}^{2}$; $U^{2}:=\{\textbf{z}\in\mathbb{C}^{2}: |\xi|<1,\,|\zeta|<1\}$ is the unit bidisk in $\mathbb{C}^{2}$; $\mathcal{A}(U^{2})$ is the class of functions analytic in $U^{2}$; and $B_{2}:=B_{2}(U^{2})$ is the Bergman space of functions $f\in\mathcal{A}(U^{2})$ such that
$$
\|f\|_{2}:=\|f\|_{B_{2}(U^{2})}=\left(\frac{1}{4\pi^{2}}\iint_{(U^{2})}|f(\xi,\zeta)|^{2}d\sigma_{\xi}d\sigma_{\zeta}\right)^{1/2}<+\infty,
$$
where $d\sigma_{\xi}:=dxdy$, $d\sigma_{\zeta}:=dudv$, and the integral is understood in the Lebesgue sense. S.B. Vakarchuk and M.B. Vakarchuk (2013) proved that, under some conditions on the Taylor coefficients $c_{pq}(f)$ in the expansion of $f(\xi,\zeta)$ in a double Taylor series, the following exact Kolmogorov inequality holds:
$$
\left\|f^{(k-\mu,l-\nu)}\right\|_{2}\leq \mathcal{C}_{k,l}(\mu,\nu) \,\|f\|_{2}^{\mu\nu/(kl)}\,\left\|f^{(k,0)}\right\|_{2}^{(1-\mu/k)\nu/l}\,\left\|f^{(0,l)}\right\|_{2}^{(1-\nu/l)\mu/k}\,\left\|f^{(k,l)}\right\|_{2}^{(1-\mu/k)(1-\nu/l)},
$$
where the numerical coefficients  $\mathcal{C}_{k,l}(\mu,\nu)$ are explicitly defined by the parameters $k,l\in\mathbb{N}$ and $\mu,\nu\in\mathbb{Z}_{+}$. We find an exact Kolmogorov type inequality for the best approximations $\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f)_{2}$ of functions $f\in B_{2}(U^{2})$ by generalized polynomials (quasipolynomials):
$$
\mathscr{E}_{m-k+\mu-1,n-l+\nu-1}\big(f^{(k-\mu,l-\nu)}\big)_{2}
$$
$$
{}\leq\frac{\alpha_{m,k-\mu}\alpha_{n,l-\nu}(m-k+1)^{(k-\mu)/(2k)}(n-l+1)^{(l-\nu)/(2l)}(m+1)^{\mu/(2k)}(n+1)^{\nu/(2l)}}{(\alpha_{m,k})^{1-\mu/m}(\alpha_{n,l})^{1-\nu/l}\left[(m-k+\mu+1)(n-l+\nu+1)\right]^{1/2}} $$
$$
{}\times\big(\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f)_{2}\big)^{\frac{\mu\nu}{kl}}\big(\mathscr{E}_{m-k-1,n-l}\big(f^{(k,0)}\big)_{2}\big)^{(1-\frac{\mu}{k})\frac{\nu}{l}}
$$
$$
{}\times\big(\mathscr{E}_{m-1,n-l-1}\big(f^{(0,l)}\big)_{2}\big)^{\frac{\mu}{k}(1-\frac{\nu}{l})}\big(\mathscr{E}_{m-k-1,n-l-1}\big(f^{(k,l)}\big)_{2}\big)^{(1-\frac{\mu}{k})(1-\frac{\nu}{l})}
$$
in the sense that there exists a function $f_{0}\in B_{2}^{(k,l)}$ for which the inequality turns into an equality.

Keywords: Kolmogorov type inequality, Bergman space, analytic function, quasipolynom, upper bound

Received July 3, 2018

Revised October 19, 2018

Accepted October 22, 2018

Mirgand Shabozovich Shabozov. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tajik National University, Dushanbe, 734025 Republic of Tajikistan, e-mail: shabozov@mail.ru

Vosif Dodkhudoevich Sainakov. Technological University of Tajikistan, Dushanbe, 734061 Republic of Tajikistan, e-mail: vosifvoiz@mail.ru