В.И. Иванов. Поточечная задача Турана для периодических положительно определенных функций ... C. 156-175

УДК 517.51

MSC: 42A05, 42A32, 42A82

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-156-175

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00308).

Изучается поточечная задача Турана о наибольшем значении в произвольной точке $x$  $1$-периодической положительно определенной функции, равной $1$ в нуле и с носителем на отрезке   $[-h,h]$. Для рациональных значений $x$ и $h$ задача сводится к дискретному варианту задачи Фейера о наибольшем значении $\nu$-го коэффициента четного тригонометрического полинома порядка $p-1$ с нулевым коэффициентом $1$ и неотрицательного на равномерной сетке  $k/q$, $k=0,\dots,q-1$. Дискретная задача Фейера решена для ряда значений параметров $\nu$, $p$ и $q$. Во всех случаях построены экстремальные полиномы и квадратурные формулы, позволяющие получить оценку наибольшего коэффициента.
                
Ключевые слова: преобразование и ряд Фурье, периодическая положительно определенная функция, поточечная задача Турана, квадратурная формула, экстремальный полином

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Rudin W. Fourier analysis on groups. N Y: Inter-science Publishers Inc., 1962. 285 p.

2.   Siegel C.L.  $\ddot{\mathrm{U}}$ber Gitterpunkte in Konvexen K$\ddot{\mathrm{o}}$rpern und damit zusammenh$\ddot{\mathrm{a}}$ngendes Extremalproblem // Acta Math. 1935. Vol. 65, no. 1. P. 307–323. doi: 10.1007/BF02420949

3.   Boas R. P., Kac M. Inequalities for Fourier transforms for positive function // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, no. 1. P. 189–206. doi: 10.1215/S0012-7094-45-01215-4

4.   Gorbachev D. V. Extremum problem for periodic functions supported in a ball // Math. Notes. 2001. Vol. 69, no. 3. P. 313–319. doi: 10.1023/A:1010275206760

5.    Arestov V. V., Berdysheva E. E. The Turan problem for a class of polytopes // East J. Math. 2002. Vol. 8, no. 3. P. 381–388.

6.    Kolountzakis M. N., Rev$\acute{\mathrm{e}}$sz Sz. Gy. On a problem of Tur$\acute{\mathrm{a}}$n about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423–3430. doi: 10.1090/S0002-9939-03-07023-0

7.   Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для экстремальных рядов с неотрицательными коэффициентами // Acta Math. Scient. Hungar. 1972. Vol. 23, no. 3-4. P. 289–291. doi: 10.1007/BF01896947

8.   Gorbachev D. V., Manoshina A. S. Tur$\acute{\mathrm{a}}$n extremal problem for periodic functions with small support and its applications // Math. Notes. 2004. Vol. 76, no. 5. P. 640–652. doi: 10.1023/B:MATN.0000049663.45427.0f

9.   Fej$\acute{\mathrm{e}}$r L.  $\ddot{\mathrm{U}}$ber trigonometrische Polynome // J. Reine Angew. 1916. Vol. 146. P. 53–82.

10.   Ivanov V. I., Rudomazina Yu. D. On the Turan problem for periodic functions with nonnegative Fourier coefficients and small support // Math. Notes. 2005. Vol. 77, no. 6. P. 870–875. doi: 10.1007/s11006-005-0089-9 

11.   Ivanov V. I., Gorbachev D. V., Rudomazina Yu. D. Some extremal problems for periodic functions with conditions on there values and Fourier coefficients // Proc. Steklov Math. Institute. 2005. Suppl. 2. S139–S159

12.   Иванов В. И., Рудомазина Ю. Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических положительно определенных функций // Мат. вопросы кибернетики. 2008. Вып. 17. С. 169–224.

13.   Ivanov V. I., Ivanov A. V. Tur$\acute{\mathrm{a}}$n problems for periodic positive definite functions // Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 2010. Vol. 33. P. 219–237.

14.   Ivanov V. I. On the Turan and Delsarte problems for periodic positive definite functions // Math. Notes. 2006. Vol. 80, no. 6. P. 875–880. doi: 10.1007/s11006-006-0210-8 

15.   Belov A. S. On positive definite piecewise linear functions and their applications // Proc. Steklov Math. Institute. 2013. Vol. 280, no. 1. P. 5–33. doi: 10.1134/S0081543813010021

16.   Kolountzakis M. N., Rev$\acute{\mathrm{e}}$sz Sz. Gy. On pointwise estimates of positive definite functions with given support // Canad. J. Math. 2006. Vol.58, no. 2. P. 401–418. doi: 10.4153/CJM-2006-017-8

17.   Szeg$\ddot{\mathrm{o}}$ G. Koeffizientenabsch$\ddot{\mathrm{a}}$tzungen bei ebenen und r$\ddot{\mathrm{a}}$umlichen harmonischen Entwicklungen // Math. Ann. 1926/27. Vol. 96. P. 601–632.

18.   Egerv$\acute{\mathrm{a}}$ry E., Sz$\acute{\mathrm{a}}$sz O. Einige Extremalprobleme im Bereiche der trigonometrischen Polynome // Math. Z. 1928. Vol. 27. P. 641–692. doi: 10.1007/BF01171120

19.   Arestov V. V., Berdysheva E. E., Berens H. On pointwise Tur$\acute{\mathrm{a}}$n’s problem for positive definite functions // East J. on Approx. 2003. Vol. 9, no. 1. P. 31–42.

20.   Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Table of integrals, series, and products. N Y; London; Oxford: Elsevier, Acad. Press, 2007. 1172 p.

Поступила 29.08.2018

После доработки 09.11.2018

Принята к публикации 12.11.2018

Иванов Валерий Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: ivaleryi@mail.ru

English

V.I. Ivanov. Pointwise Tur$\acute{\mathrm{a}}$n problem for periodic positive definite functions

We study the pointwise Tur$\acute{\mathrm{a}}$n problem on the largest value at an arbitrary point $x$ of a $1$-periodic positive definite function supported on the interval $[-h, h]$ and equal to $1$ at zero. For rational values of $x$ and $h$, the problem reduces to a discrete version of the Fej$\acute{\mathrm{e}}$r problem on the largest value of the $\nu$th coefficient of an even trigonometric polynomial of order $p-1$ that has zero coefficient 1 and is nonnegative on a uniform grid $k/q$, $k=0,\dots,q-1$. The discrete Fej$\acute{\mathrm{e}}$r problem is solved for a number of values of the parameters $\nu$, $p$, and $q$. In all the cases, we construct extremal polynomials and quadrature formulas, which yield an estimate for the largest coefficient.

Keywords: Fourier transform and series, periodic positive definite function, pointwise Tur$\acute{\mathrm{a}}$n problem, quadrature formula, extremal polynomial

Received August 29, 2018

Revised November 09, 2018

Accepted November 12, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00308).

Valerii Ivanovich Ivanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, 300012 Tula,
e-mail: ivaleryi@mail.ru