Н.А. Ильясов. О равносильности некоторых соотношений в разных метриках между нормами, наилучшими приближениями и модулями гладкости периодических функций и их производных ... C. 176-188

УДК 517.518.832

MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 41A27

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-176-188

В статье предлагается метод, который позволяет, в частности, установить равносильность известных оценок сверху $L_{q}(\mathbb T)$-нормы $\|f^{(r)}\|_{q}$, величины наилучшего приближения $E_{n-1}(f^{(r)})_{q} $ и модуля гладкости $k$-го порядка $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{q}$ посредством элементов последовательности $\big\{E_{n-1}(f)_{p}\big\}_{n=1}^{\infty}$ наилучших приближений $2\pi$-периодической функции $f\in L_{p}(\mathbb T)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1$,\ $n\in \mathbb N$, где $r\in \mathbb Z_{+}\ (f^{(0)}=f),\ 1<p<q<\infty,\  \mathbb T=(-\pi,\pi]$. Основным результатом работы является следующее утверждение: пусть $1<p<q<\infty,\ r\in \mathbb Z_{+}$, $k\in \mathbb N,\ \sigma=r+1/p-1/q,\ f\in L_{p}(\mathbb T)$ и $E(f;p;\sigma;q) \equiv \Big(\sum_{\nu=1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q} <\infty$; тогда неравенства

(a) $\|f^{(r)}\|_{q} \le C_{1}(r,p,q)\big\{(1-\chi(r))\|f\|_{p}+E(f;p;\sigma;q)\big\}$;

(b) $E_{n-1}(f^{(r)})_{q} \le C_{2}(r,p,q)\Big\{n^{\sigma}E_{n-1}(f)_{p}+\Big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q} \Big\},\ n\in \mathbb N$;

(c) $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{q} \le C_{3}(k,r,p,q)\Big\{ \Big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q}+n^{-k} \Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{q(k+\sigma)-1}E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q}\Big\}$, $n\in \mathbb N$,
являются  равносильными в том смысле, что выполнение любого из этих неравенств  влечет выполнение двух других. Неравенства (a), (b) и (c) могут быть установлены привлечением лишь одной ключевой оценки
$$
\big\| S_{m}^{(l)}(f;\cdot)\big\|_{q} \le C_{4}(l,p,q)\Big\{(1-\chi(l))\|f\|_{p}+\Big(\sum_{\nu=1}^{m}\nu^{q\lambda-1}
E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q} \Big\},\  m\in \mathbb N,
 $$
где $S_{m}(f;x)$ - частная сумма порядка $m\in \mathbb N$ ряда Фурье функции $f\in L_{p}(\mathbb T),\ l\in \mathbb Z_{+}$,\ $\lambda =l+1/p-1/q$,\ $\chi(t)=0$ при $t\le 0$ и $\chi(t)=1$ при $t>0$,\ $t\in \mathbb R$. Выполнение последней оценки в случае $l=r$ и $\lambda=\sigma$ необходимо и достаточно для справедливости неравенства (a) при условии $E(f;p;\sigma;q)<\infty$, гарантирующем принадлежность $f\in L_{q}^{(r)}(\mathbb T)$, где $L_q^{(r)}(\mathbb T)$ - класс функций $f\in L_{q}(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывную производную $(r-1)$-го порядка, и $f^{(r)} \in L_{q}(\mathbb T)$. Для неравенств (b) и (c) также имеют место необходимые и достаточные условия их справедливости в терминах поведения элементов последовательности $\{\|S_{m}^{(l)}(f;\cdot)\|_{q}\}_{m=1}^{\infty}$.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, неравенства в разных метриках, равносильные неравенства

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат. сб. 1958. Т. 44 (86), № 1. С. 53–84.

2.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

3.   Тиман М.Ф. Наилучшее приближение и модуль гладкости функций, заданных на всей вещественной оси // Изв. вузов. Математика. 1961. № 6(25). С. 108–120.

4.   Кокилашвили В.М. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости в различных лебеговских пространствах периодических функций с преобразованным рядом Фурье // Сообщ. АН Грузинской ССР. 1964. Т. 35, № 1. С. 3–8.

5.   Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Мат. сб. 1970. Т. 81 (123), № 1. С. 104–131.

6.   Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций $H_{p}^{\omega}$ // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1968. Т. 32, № 3. С. 649–686.

7.   Ульянов П.Л. Теоремы вложения и наилучшие приближения // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, № 5. С. 1044–1047.

8.   Тиман М.Ф. О некоторых теоремах вложения $L_{p}$-классов функций // Докл. АН СССР. 1970. Т. 193, № 6. С. 1251–1254.

9.   Тиман М.Ф. О вложении $L_{p}^{(k)}$ классов функций // Изв. вузов. Математика. 1974. № 10 (149). С. 61–74.

10.   Ильясов Н.А. Теоремы вложения для структурных и конструктивных характеристик функций: дис. …канд. физ.-мат. наук. Баку, 1987. 150 с.

11.   Ильясов Н.А. О приближении периодических функций средними Фейера — Зигмунда в разных метриках // Мат. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 48–57.

12.   Ильясов Н.А. Обратная теорема теории приближений в разных метриках // Мат. заметки. 1991. Т. 50, № 6. С. 57–65.

13.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.; Л.: Гостехиздат, 1939. 324 с.

14.   Riesz M. Sur les fonctions conjuguees // Math. Zeit. 1927. Bd. 27, no. 2. S. 218–244. doi: 10.1007/BF01171098

15.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.

16.   Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1951. Т. 15, № 3. С. 219–242.

Поступила 10.09.2018

После доработки 13.11.2018

Принята к публикации 19.11.2018

Ильясов Ниязи Аладдин оглы
канд. физ.-мат. наук, доцент;
доцент кафедры математического анализа
Бакинский государственный университет, г. Баку
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

English

N.A. Il’yasov. On the equivalence of some relations in different metrics between norms, best approximations, and moduli of smoothness of periodic functions and their derivatives

We propose a method capable, in particular, of establishing the equivalence of known upper estimates for the $L_q(\mathbb T)$-norm $\|f^{(r)}\|_q$, the best approximation $E_{n-1}(f^{(r)})_q$, and the $k$th-order modulus of smoothness $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_q$ in terms of elements of the sequence $\{E_{n-1}(f)_p\}_{n=1}^\infty$ of best approximations of a $2\pi$-periodic function $f\in L_p(\mathbb T)$ by trigonometric polynomials of order at most $n-1$, $n\in \mathbb N$, where $r\in \mathbb Z_+$ ($f^{(0)}=f)$, \mbox{$1<p<q<\infty$,} and $\mathbb T=(-\pi,\pi]$. The principal result of the paper is the following statement. Let \mbox{$1<p<q<\infty$,} $r\in \mathbb Z_+$, $k\in \mathbb N$, $\sigma=r+1/p-1/q$, $f\in L_p(\mathbb T)$, and $E(f;p;\sigma;q)\equiv\Big(\sum_{\nu=1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q}<\infty$. Then the following inequalities are equivalent in the sense that each of them implies the other two:

(a) \ $\|f^{(r)}\|_q\le C_1(r,p,q)\left\{(1-\chi (r))\|f\|_p+E(f;p;\sigma;q)\right\}$;

(b) \ $E_{n-1}(f^{(r)})_q\le C_2(r,p,q)\left\{n^\sigma E_{n-1}(f)_p +\Big(\sum\nolimits_{\nu =n+1}^\infty \nu ^{q\sigma -1}E_{\nu -1}^q (f)_p\Big)^{1/q}\right\}$, $n\in\mathbb{N}$;

(c) \ $\omega _k (f^{(r)};\pi/n)_q \le C_3 (k,r,p,q)\Big\{\Big(\sum\nolimits_{\nu =n+1}^\infty \nu^{q\sigma -1}E_{\nu -1}^q (f)_p\Big)^{1/q}+n^{-k}\Big(\sum\nolimits_{\nu =1}^n \nu ^{q(k+\sigma )-1}E_{\nu -1}^q (f)_p \Big)^{1/q}\Big\}$, $n\in \mathbb{N}$.

\noindent Inequalities (a), (b), and (c) depend on the key estimate
$$
\big\| S_m^{(l)} (f;\cdot )\big\|_q \le C_4(l,p,q)\Big\{(1-\chi (l))\|f\|_p +\Big(\sum\nolimits_{\nu =1}^m \nu ^{q\lambda -1} E_{\nu -1}^q (f)_p \Big)^{1/q}\Big\},\ \ m\in \mathbb{N},
$$
where $S_m (f;x)$ is the partial sum of order $m\in \mathbb{N}$ of the Fourier series of a function $f\in L_p(\mathbb T)$, $l\in \mathbb Z_+ $, $\lambda =l+
1/p-1/q$, $\chi (t)=0$ for $t\le 0$, and $\chi (t)=1$ for $t>0$, $t\in \mathbb{R}$. The latter estimate in the case $l=r$ and $\lambda =\sigma $ provides a necessary and sufficient condition for the fulfillment of inequality (a) under the condition $E(f;p;\sigma ;q)<\infty$, which guarantees that $f\in L_q^{(r)}(\mathbb T)$, where $L_q^{(r)} (\mathbb T)$ is the class of functions $f\in L_q (\mathbb T)$ with absolutely continuous $(r-1)$-th derivative and $f^{(r)}\in L_q (\mathbb T)$. Necessary and sufficient conditions for the validity of inequalities (b) and (c) are also provided in terms of the behavior of elements of the sequence $\{\|S_m^{(l)} (f;\cdot )\|_q\}_{m=1}^\infty$.

Keywords: best approximation, modulus of smoothness, inequalities in different metrics, equivalent inequalities

Received September 10, 2018

Revised November 13, 2018

Accepted November 19, 2018

Niyazi Aladdin ogly Il’yasov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Baku State University, Baku, Azerbaijan,
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com