Н.Д. Зюляркина, М.Х. Шерметова. Большие вершинно симметричные графы Хигмена с $\mu=6$ ... C. 146-155

УДК 519.17

MSC: 05C25, 20B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-146-155

Сильно регулярный граф с $v={m\choose 2}$ и $k=2(m-2)$ называется графом Хигмена. В графе Хигмена параметр $\mu$ принимает значения 4, 6, 7 или 8. Если $\mu=6$, то $m=9,17,27,57$. Реберно симметричные графы Хигмена были классифицированы Н.Д. Зюляркиной и  А.А. Махневым (все они оказались графами ранга 3). Реализуется программа классификации вершинно симметричных графов Хигмена. Ранее Н.Д. Зюляркина и А.А. Махнев нашли вершинно симметричные графы Хигмена с $\mu=6$ и $m=9,17$. В данной работе изучены вершинно симметричные графы Хигмена с $\mu=6$ и $m=27,57$. Интересно, что группа $G/S(G)$ может содержать две компоненты $L$ и $M$, в случае $m=27$ имеем $M\cong A_5,A_6$ и $L\cong L_3(3)$, а в случае $m=57$ имеем либо $M\cong PSp_4(3)$ и $L\cong L_3(7)$, либо $M\cong A_6$ и $L\cong J_1$.

Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, автоморфизм графа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Higman D.G. Characterization of families of rank 3 permutation groups by the subdegrees, I // Arch. Math. 1970. Vol. 21, no. 1. P. 151–156. doi: 10.1007/BF01220896

2.   Зюляркина Н.Д., Махнев А.А. Реберно-симметричные полутреугольные графы Хигмена // Докл. АН. 2014. Т. 459, № 3. С. 261–265.

3.   Вершинно транзитивные полутреугольные графы с $\mu=7$  / Н. Д. Зюляркина, А. А. Махнев, Д. В. Падучих, Хамгокова М.М // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 1198–1206. doi: 10.17377/semi.2017.14.101

4.   Зюляркина Н.Д., Махнев А.А. Небольшие вершинно симметричные графы Хигмена с $\mu=6$ // Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. С. 54–59. doi: 10.17377/semi.2018.15.007

5.   Зюляркина Н.Д., Махнев А.А. Автоморфизмы полутреугольных графов, имеющих $\mu=6$ // Докл. АН. 2009. Т. 426, № 4. С. 439–442.

6.   Cameron P. Permutation Groups. London: Cambridge Univ. Press, 1999. 220 p. ISBN: 0-521-65302-9 .

7.   Behbahani M. , Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol. 311, no. 2-3. P. 132–144. doi: 10.1016/j.disc.2010.10.005

8.   Haemers W.H. Interlacing eigenvalues and graphs // Linear Algebra Appl. 1995. Vol. 226–228. P. 593–616. doi: 10.1016/0024-3795(95)00199-2

9.   Macay M., Siran J. Search for properties of the missing Moore graph // Linear Algebra Appl. 2010. Vol. 432, no. 9. P. 2381–2398. doi: 10.1016/j.laa.2009.07.018

10.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sibirean Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

Поступила 20.02.2018

После доработки 16.10.2018

Принята к публикации 22.10.2018

Зюляркина Наталья Дмитриевна
д-р физ.-мат. наук, профессор
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск
e-mail: toddeath@yandex.ru

Шерметова Марияна Хусеновна
аспирант
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, г. Нальчик
e-mail: mariyana1992@mail.ru

English

N.D. Zyulyarkina, M.Kh. Shermetova. Large vertex-symmetric Higman graphs with $\mu=6$

A strongly regular graph with $v={m\choose 2}$ and $k=2(m-2)$ is called a Higman graph. In such a graph, the parameter $\mu$ is 4, 6, 7, or 8. If $\mu=6$, then $m\in\{9,17,27,57\}$. Vertex-symmetric Higman graphs were classified by N.D. Zyulyarkina and A.A. Makhnev (all of these graphs turned out to have rank 3). A program of classification of vertex-symmetric Higman graphs is implemented. Earlier Zyulyarkina and Makhnev found vertex-symmetric Higman graphs with $\mu=6$ and $m\in\{9,17\}$. In the present paper, vertex-symmetric Higman graphs with $\mu=6$ and $m\in{27,57}$ are studied. It is interesting that the group $G/S(G)$ may contain two components $L$ and $M$. In the case $m=27$, we have $M\cong A_5,A_6$ and $L\cong L_3(3)$; in the case $m=57$, we have either $M\cong PSp_4(3)$ and $L\cong L_3(7)$ or $M\cong A_6$ and $L\cong J_1$.

Keywords: distance-regular graph, graph automorphism

Received February 20, 2018

Revised October 16, 2018

Accepted October 22, 2018

Natal’ya Dmitrievna Zyulyarkina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, 454080 Russia, e-mail: toddeath@yandex.ru

Mariyana Khusenovna Shermetova, doctoral student, Kabardino-Balkarian State University named after H.M.Berbekov, Nal’chik, 360004 Russia, e-mail: mariyana1992@mail.ru