И.Н. Зотов, В.М. Левчук. Соответствие Мальцева и изоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле ... C. 135-145

УДК 512.55

MSC: 17B30, 17B40, 03C07

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-135-145

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00707).

Модели алгебраических систем языка первого порядка называются элементарно эквивалентными, пишем $\equiv$, если всякое предложение, истинное в одной из них, является истинным и в другой системе. Теоретико-модельные исследования линейных групп и колец развивались, начиная с работ А.И. Мальцева (1960, 1961), в тесной связи с теорией изоморфизмов; как правило, отношение $\equiv$ исследуемых систем переносилось на поля (или встречавшиеся кольца) коэффициентов. Соответствие Мальцева исследовалось для колец нильтреугольных матриц и унитреугольных групп (Б. Роуз, 1978, В. Вейлер, 1980, К. Видэла, 1988, О.В. Белеградек, 1999, В.М. Левчук, Е.В. Минакова, 2009). Для унипотентных подгрупп групп Шевалле над полем $K$ соответствие исследовал в 1990 г. К. Видэла при $char \,  K \ne 2,3$. Ослабление ограничения на поле $K$ в теореме Видэла авторы анонсировали ранее. В алгебре Шевалле, ассоциированной с системой корней $\Phi$ и кольцом $K$, естественно выделяется нильтреугольная подалгебра $N\Phi (K)$. Основные результаты настоящей статьи устанавливают соответствие Мальцева (взаимосвязано с описанием изоморфизмов) для колец Ли $N\Phi(K)$ классических типов над произвольными ассоциативно коммутативными кольцами с единицей. Отмечается следствие для (неассоциативных) обертывающих алгебр к алгебрам $N\Phi(K)$.

Ключевые слова: алгебра Шевалле, нильтреугольная подалгебра, изоморфизм, теоретико-модельное соответствие Мальцева

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Мальцев А.И. Об одном соответствии между кольцами и группами // Мат. сб. 1960. Т. 50, № 3. С. 257–266.

2.   Мальцев А.И. Элементарные свойства линейных групп // Некоторые проблемы в математике и механике. Новосибирск: Изд-во АН СССР, 1961. С. 110–132.

3.   Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977. 614 с.

4.   Hodges W. Model theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. 772 p.

5.   Ремесленников В.Н., Романьков В.А. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп // Итоги науки и техники. Cер.: Алгебра, топология, геометрия. 1983. Т. 21. С. 3–79.

6.   Rose B.I. The $\chi_1$-categoricity of strictly upper triangular matrix rings over algebraically closed fields // J. Symbolic Logic. 1978. Vol. 43, no. 2. P. 250–259. doi: 10.2307/2272823

7.   Wheeler W.H. Model theory of strictly upper triangular matrix ring // J. Symbolic Logic. 1980. Vol. 45, no. 3. P. 455–463. doi: 10.2307/2273414

8.   Videla C.R. On the model theory of the ring NT(n,R) // Pure Appl. Algebra. 1988. Vol. 55, no. 3. P. 289–302. doi: 10.1016/0022-4049(88)90120-X

9.   Belegradek O.V. Model theory of unitriangular groups // Amer. Math. Soc. Transl. 1999. Vol. 195, no. 2. P. 1–116.

10.   Левчук В.М., Минакова Е.В. Элементарная эквивалентность и изоморфизмы локально-нильпотентных матричных групп и колец // Докл. АН. 2009. Т. 425, № 2. С. 165–168.

11.   Videla C.R. On the Mal’cev correspondence // Proc. AMS. 1990. Vol. 109, no. 2. P. 493–502. doi: 10.2307/2048013 

12.   Бунина Е.И., Михалев А.В., Пинус А.Г. Элементарная и близкая к ней логические эквивалентности классических и универсальных алгебр. М: МЦНМО, 2015. 360 с.

13.   Carter R.W. Simple groups of Lie type. N Y: Wiley and Sons, 1972. 331 p.

14.   Левчук В.М. Теоретико-модельные и структурные вопросы алгебр и групп Шевалле // Итоги науки. Юг России. Т. 6: Группы и графы / ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. Владикавказ, 2012. С. 71–80.

15.   Kuzucuoglu F., Levchuk V.M. Isomorphisms of certain locally Nilpotent finitary groups and associated rings // Acta Applicandae Mathematicae. 2004. Vol. 82, no. 2. P. 169–181. doi: 10.1023/B:ACAP.0000027533.59937.14

16.   Levchuk V.M., Suleimanova G.S. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type // J. Algebra. 2012. Vol. 349, no. 1. P. 98–116. doi: 10.1016/j.jalgebra.2011.10.025

17.   Левчук В.М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 3. С. 315–338.

18.   Левчук В.М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиева типа малых рангов // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 2. С. 141–161.

19.   Левчук В.М., Литаврин А.В. Гиперцентральные автоморфизмы нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 467–477. doi: 10.17377/semi.2016.13.040

20.   Gibbs J.A. Automorphisms of certain unipotent groups // J. Algebra. 1970. Vol. 14, no. 2. P. 203–208. doi: 10.1016/0021-8693(70)90123-7

21.   Cao Y., Jiang D., Wang D. Automorphisms of certain nilpotent algebras over commutative rings // International J. Algebra Computation. 2007. Vol. 17, no. 3. P. 527–555. doi: 10.1142/S021819670700372X

22.   Serre J.-P. Algebres de Lie semi-simple complexes. N Y; Amsterdam, Benjamin, 1966. 130 p.

23.   Levchuk V.M. Connections between a unitriangular group and certain rings. Part 2. Groups of automorphisms // Siberian Mat. J. 1983. Vol. 24. P. 543–557. doi: 10.1007/BF00969552

24.   Левчук В.М., Минакова Е.В. Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы для нильпотентных матричных групп и колец // Фундамент. и прикл. математика. 2008. Т. 14, № 8. С. 159–168.

25.   Левчук В.М. Нильтреугольная подалгебра алгебры: обертывающая алгебра, идеалы и автоморфизмы // Докл. АН. 2018. Т. 478, № 2. С. 137–140.

Поступила 10.09.2018

После доработки 20.11.2018

Принята к публикации 26.11.2018

Зотов Игорь Николаевич
ассистент кафедры алгебры и математической логики
Института математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета,
г. Красноярск
e-mail: zotovin@rambler.ru

Левчук Владимир Михайлович
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры алгебры и математической логики
Института математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета,
г. Красноярск
e-mail: vlevchuk@sfu-kras.ru

English

I.N. Zotov, V.M. Levchuk. The Mal’tsev correspondence and isomorphisms of niltriangular subrings of Chevalley algebras

Models of algebraic systems of a first-order language are called elementarily equivalent (we write $\equiv$) if every sentence that is true in one of the models is also true in the other model. The model-theoretic study of linear groups and rings initiated by A.I. Mal'tsev (1960, 1961) is closely related to isomorphism theory; as a rule, the relation $\equiv$ of systems was transferred to fields (or rings encountered) of the coefficients. The Mal'tsev correspondence was analyzed for rings of niltriangular matrices and unitriangular groups (B. Rose, 1978; V. Weiler, 1980; K. Videla, 1988; O.V. Belegradek, 1999; V.M. Levchuk, E.V. Minakova, 2009). For unipotent subgroups of Chevalley groups over a field $K$, the correspondence was studied in 1990 by Videla for $char  \, K\ne 2,3$. Earlier the authors announced a weakening of the constraint on the field $K$ in the Videla theorem. In the Chevalley algebra associated with a root system $\Phi$ and a ring $K$, the niltriangular subalgebra $N\Phi(K)$ is naturally distinguished. The main results of this paper establish the Mal'tsev correspondence (related with the description of isomorphisms) for the Lie rings $N\Phi(K)$ of classical types over arbitrary associative commutative rings with unity. A corollary is noted for (nonassociative) enveloping algebras to $N\Phi(K)$.

Keywords: Chevalley algebra, niltriangular subalgebra, isomorphism, model-theoretic Mal'tsev correspondence

Received September 10, 2018

Revised November 20, 2018

Accepted November 26, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00707).

Igor’ Nikolaevich Zotov, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia,
e-mail: zotovin@rambler.ru

Vladimir Mikhailovich Levchuk, Dr. Phys.-Math. Sci., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: vlevchuk@sfu-kras.ru