В.И. Зенков. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_2(2^m)\times L_2(2^n)$ ... C.126-134

УДК 512.542

MSC: 20D05

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-126-134

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта повышения конкурентоспособности ведущих университетов России (соглашение 02.А03.210006 от 27.08.2013).

В теореме 1 для конечной группы $G$ с цоколем $L_2(2^m)\times L_2(2^n)$ и нильпотентными подгруппами $A$ и $B$ доказано, что из условия  $\min_G(A,B)\ne 1$ следует, что $n=m=2$ и подгруппы $A$ и $B$ являются $2$-группами. Здесь подгруппа $\min_G(A,B)$ порождена всеми пересечениями вида $A\cap B^g,\ g\in G$, порядок которых минимален, а подгруппа $\mathrm{Min}_G(A,B)$ порождена всеми пересечениями вида $A\cap B^g,\ g\in G$, которые минимальны по включению. В теореме 2 для конечной группы $G$ с цоколем $A_5\times A_5$ и силовской 2-подгруппой $S$ дается описание подгрупп $\min_G(S,S)$ и $\mathrm{Min}_G(S,S)$. На основании теоремы 2 в теореме 3 для конечной группы $G$ с цоколем $A_5\times A_5$ с точностью до сопряжения дается описание всех пар нильпотентных подгрупп $(A,B)$ в $G$, для которых $\min_G(A,B)\ne 1$.

Ключевые слова: конечная группа, нильпотентная подгруппа, пересечение подгрупп

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Burnside W. On groups of order $p^{\alpha}q^{\beta}$  // Proc. London Math. Soc., 1904. Vol. 2, no. 1. P. 388–392.

2.   Burnside W. On groups of order $p^{\alpha}q^{\beta}$ (second paper) // Proc. London Math. Soc., 1905. Vol. 2, no. 2. P. 432–437.

3.   Монахов В.С. Инвариантные подгруппы бипримарных групп // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 6. С. 877–886.

4.   Кабанов В.В., Кондратьев А.С. Силовские 2-подгруппы конечных групп. Свердловск: Изд-во УрО РАН, 1979. 155 с.

5.   Зенков В.И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фунд. и прикл. математика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 1–92.

6.   Zenkov V.I. On intersections of primary subgroups in the group Aut($L_n(2)$) // Proc. Steklov Inst. Math. 2016. Vol. 293. Suppl. 1. P. 270–277. doi: 10.1134/S0081543816050230

7.   Зенков В.И., Нужин Я.Н. О пересечениях примарных подгрупп нечетного порядка в конечных почти простых группах // Фундамент. и прикл. математика. 2014. Т. 19, № 6. С. 115–123.

8.   Зенков В.И. О пересечениях нильпотентных подгрупп в конечных симметрических и знакопеременных группах // Тр. института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 3. С. 145–149.

9.   Atlas of finite group / Convay J. H. [et. al.] Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

10.   Gorenstein D., Lyons R. The local structure of finite groups of characteristic 2 type // Mem. Amer. Math. Soc., 1983. Vol. 42. P. 1–731.

11.   Зенков В.И. О пересечениях абелевых подгрупп в конечных группах // Мат. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 150–152.

12.   Jamali A.R., Viseh M. On nilpotent subgroups containing nontrivial normal subgroups // J. Group Theory, 2010. Vol. 13, no. 4. P. 411–416. doi: 10.1515/jgt.2009.058

13.   Зенков В.И., Мазуров В.Д. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах // Алгебра и логика. 1996. Т. 35, № 4. С. 424–432.

14.   Зенков В.И. О пересечениях двух нильпотентных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_2(q)$ // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 6. С. 1280–1290.

15.   Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972. 239 с.

16.   Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука, 1968. 113 с.

Поступила 03.07.2018

После доработки 24.10.2018

Принята к публикации 29.10.2018

Зенков Виктор Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Инcтитут математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: v1i9z52@mail.ru

English

V.I. Zenkov. On intersections of nilpotent subgroups in finite groups with socle $L_2(2^m)\times L_2(2^n)$

In Theorem 1, it is proved for a finite group $G$ with socle $L_2(2^m)\times L_2(2^n)$ and nilpotent subgroups $A$ and $B$ that the condition $\min_G(A,B)\ne 1$ implies that $n=m=2$ and the subgroups $A$ and $B$ are $2$-groups. Here the subgroup $\min_G(A,B)$ is generated by smallest-order intersections of the form $A\cap B^g$, $g\in G$, and the subgroup $\mathrm{Min}_G(A,B)$ is generated by all intersections of the form $A\cap B^g$, $g\in G$, that are minimal with respect to inclusion. In Theorem 2, for a finite group $G$ with socle $A_5\times A_5$ and a Sylow 2-subgroup $S$, we give a description of the subgroups $\min_G(S,S)$ and $\mathrm{Min}_G(S,S)$. On the basis of Theorem 2, in Theorem 3 for a finite group $G$ with socle $A_5\times A_5$ we describe up to conjugation all pairs of nilpotent subgroups $(A,B)$ of $G$ for which $\min_G(A,B)\ne 1$.

Keywords: finite groups, nilpotent subgroup, intersection of subgroups

Received July 03, 2018

Revised October 24, 2018

Accepted October 29, 2018

Funding Agency: This work was supported by by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Viktor Ivanovich Zenkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990, Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: v1i9z52@mail.ru