М.В. Дейкалова, А.Ю. Торгашова. Наилучшее одностороннее приближение в среднем характеристической функции промежутка алгебраическими многочленами ... C. 110-125

УДК 517.977

MSC: 41A10, 41A29, 41A63

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-110-125

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Пусть $\upsilon$ - вес на $(-1,1)$, т. е. измеримая, суммируемая, неотрицательная  функция, отличная от нуля почти всюду на $(-1,1)$. Обозначим через $L^\upsilon(-1,1)$  пространство вещественнозначных  функций $f,$ суммируемых c  весом $\upsilon$ на $(-1,1)$, наделенное нормой $\|f\|=\int_{-1}^{1}|f(x)|\upsilon(x)\,dx.$ Рассматриваются задачи наилучшего одностороннего приближения  (снизу и сверху) в пространстве $L^\upsilon(-1,1)$  характеристической функции интервала  $(a,b),$ $-1<a<b<1,$ множеством алгебраических многочленов степени не выше заданной. Приведено решение задач в случае, когда $a,b$ - узлы  положительной квадратурной формулы при некоторых условиях на ее алгебраическую точность.  А также в случае симметричного интервала $(-h,h),$ $0<h<1,$ для четного веса $\upsilon$.

Ключевые слова: одностороннее приближение, характеристическая функция интервала, алгебраические многочлены

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Bojanic R., DeVore R. On polynomials of best one-sided approximation // Enseign. Math. 1966. Vol. 2, no. 12. P. 139–164.

2.   Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Физматлит, 1959. 327 с.

3.   Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. Киев: Наукова думка, 1982. 254 с.

4.   Bustamante J., Quesada J.M., Martinez-Cruz R. Best one-sided $L_1$ approximation to the Heaviside and sign functions // J. Approx. Theory. 2012. Vol. 164. P. 791–802. doi: 10.1016/j.jat.2012.02.006

5.   Li X.-J., Vaaler J.D. Some trigonometric extremal functions and the Erd$\ddot{\mathrm{o}}$s–Tur$\acute{\mathrm{a}}$n type inequalities // Ind. Univ. Math. J. 1999. Vol. 48, no. 1. P. 183–236. doi: 10.1512/iumj.1999.48.1508

6.   Моторный В.П., Моторная О.В., Нитиема П.К. Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем // Укр. мат. журн. 2010. Т. 62, № 3. С. 409–422.

7.   Bustamante J., Martinez-Cruz R., Quesada J.M. Quasi orthogonal Jacobi polynomials and best one-sided $L_1$ approximation to step functions // J. Approx. Theory. 2015. Vol. 198. P. 10–23. doi: 10.1016/j.jat.2015.05.001

8.   Бабенко А.Г., Крякин Ю.В., Юдин В.А. Одностороннее приближение в L характеристической функции интервала тригонометрическими полиномами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, вып. 1. С. 82–95.

9.   Babenko A.G., Deikalova M.V., Revesz Sz.G. Weighted one-sided integral approximations to characteristic functions of intervals by polynomials on a closed interval // Proc. Steklov Inst. Math. 2017. Vol. 297, Suppl. 1. P. S11–S18. doi: 10.1134/S0081543817050029

10.   Beckermann B., Bustamante J., Martinez-Cruz R., Quesada J.M. Gaussian, Lobatto and Radau positive quadrature rules with a prescribed abscissa // Calcolo. 2014. Vol. 51, no. 2. P. 319–328. doi: 10.1007/s10092-013-0087-3

11.   Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962. Т. 1. 464 с.

12.   Изложение лекций С. Б. Стечкина по теории приближений. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2010. 154 c.

13.   Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. 327 с.

Поступила 01.09.2018

После доработки 09.10.2018

Принята к публикации 15.10.2018

Дейкалова Марина Валерьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: marina.deikalova@urfu.ru

Торгашова Анастасия Юрьевна
магистрант
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: anastasiya.torgashova@mail.ru

English

M.V. Deikalova, A.Yu. Torgashova. Best one-sided approximation in the mean of the characteristic function of an interval by algebraic polynomials

Let $\upsilon$ be a weight on $(-1,1)$, i.e., a measurable integrable nonnegative function different from zero almost everywhere on $(-1,1)$. Denote by $L^\upsilon(-1,1)$ the space of real-valued functions $f$ integrable with weight $\upsilon$ on $(-1,1)$ with the norm $\|f\|=\int_{-1}^{1}|f(x)|\upsilon(x)\,dx$. We consider the problems of the best one-sided approximation (from below and from above) in the space $L^\upsilon(-1,1)$ of the characteristic function of an interval $(a,b)$, $-1<a<b<1$, by the set of algebraic polynomials of degree not exceeding a given number. We solve the problems in the case when $a$ and $b$ are nodes of a positive quadrature formula under some conditions on its degree of precision as well as in the case of a symmetric interval $(-h,h),$ $0<h<1$, for an even weight $\upsilon$.

Keywords: one-sided approximation, characteristic function of an interval, algebraic polynomials

Received September 01, 2018

Revised October 09, 2018

Accepted October 15, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Marina Valer’evna Deikalova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: marina.deikalova@urfu.ru

Anastаsiya Yur’evna Torgashova, graduate student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: anastasiya.torgashova@mail.ru