М.Л. Гриднев. Сходимость тригонометрических рядов Фурье функций с ограничением на фрактальность их графиков ... C. 104-109

УДК 517.518.45

MSC: 42A20

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-104-109

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

Для непрерывной на отрезке функции $f$ вводится понятие модуля фрактальности $\nu(f,\varepsilon)$ как функции, которая каждому $\varepsilon>0$ сопоставляет минимальное число квадратов размера $\varepsilon$, которыми можно покрыть график функции $f$. В терминах модуля фрактальности и модуля непрерывности $\omega(f,\delta)$ получено условие равномерной сходимости ряда Фурье функции $f$: если
$$
\omega (f,\pi/n) \ln\bigg(\frac{\nu(f,\pi/n)}{n}\bigg) \longrightarrow 0 ~~~ \text{при}~ n\longrightarrow +\infty,
$$
то ряд Фурье функции $f$ сходится равномерно. Это условие уточняет известный признак сходимости Дини-Липшица. Кроме того, получена равномерная по $x\in[0,2\pi]$ оценка порядка роста сумм Фурье $S_n(f,x)$ непрерывной функции $f$:
$$
S_n(f,x) = o\bigg( \ln \bigg(\frac{\nu (f,\pi / n)}{n}\bigg)\bigg).
$$
Показано, что эта оценка является неулучшаемой.

Ключевые слова: тригонометрический ряд Фурье, равномерная сходимость, фрактальная размерность

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Гриднев М.Л. О классах функций с ограничением на фрактальность их графика // Proc. of the 48th Internat. Youth School-Conf. “Modern Problems in Mathematics and its Applications”. Yekaterinburg, 2017. Vol. 1894. С. 167–173. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1894/appr5.pdf

2.   Gridnev M.L. Divergence of Fourier series of continuous functions with restriction on the fractality of their graphs // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P 46–50. doi: 10.15826/umj.2017.2.007

3.   Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИМФЛ, 1961. 937 с.

Поступила 31.08.2018

После доработки 28.10.2018

Принята к публикации 05.11.2018

Гриднев Максим Леонидович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: coraxcoraxg@gmail.com

English

M.L. Gridnev. Convergence of trigonometric Fourier series of functions with a constraint on the fractality of their graphs

For a function $f$ continuous on a closed interval, its modulus of fractality $\nu(f,\varepsilon)$ is defined as the function that maps any $\varepsilon>0$ to the smallest number of squares of size $\varepsilon$ that cover the graph of $f$. The following condition for the uniform convergence of the Fourier series of $f$ is obtained in terms of the modulus of fractality and the modulus of continuity $\omega(f,\delta)$: if
$$
\omega (f,\pi/n) \ln\bigg(\frac{\nu(f,\pi/n)}{n}\bigg) \longrightarrow 0 \ \mbox{ as } n\longrightarrow +\infty,
$$
then the Fourier series of $f$ converges uniformly. This condition refines the known Dini-Lipschitz test. In addition, for the growth order of the partial sums $S_n(f,x)$ of a continuous function~$f$, we derive an estimate that is uniform in $x\in[0,2\pi]$:
$$
S_n(f,x) = o\bigg( \ln \bigg(\frac{\nu (f,\pi / n)}{n}\bigg)\bigg).
$$
The optimality of this estimate is shown.

Keywords: trigonometric Fourier series, uniform convergence, fractal dimension

Received August 31, 2018

Revised October 28, 2018

Accepted November 05, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00702).

Maksim Leonidovich Gridnev, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: coraxcoraxg@gmail.com