Д.В. Горбачев. Константы Никольского - Бернштейна для неотрицательных целых функций экспоненциального типа на оси ... C. 92-103

УДК 517.5

MSC: 41A17

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-92-103

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 18-11-00199).

Мы изучаем весовой вариант неравенства Никольского - Бернштейна \[ \|\Lambda_{\alpha}^{k}f\|_{q,\alpha}\le \mathcal{L}(\alpha,p,q,k)\sigma^{(2\alpha+2)(1/p-1/q)+k}\|f\|_{p,\alpha},\quad \alpha\ge -1/2, \]
на подпространстве $\mathcal{E}^{\sigma}\cap L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$ целых функций экспоненциального типа. Здесь $\Lambda_{\alpha}$- дифференциально-разностный оператор Данкля, вторая степень которого порождает дифференциально-разностный оператор Бесселя $B_{\alpha}$. При $(p,q)=(1,\infty)$ мы находим точные константы для неотрицательных функций
\[
\mathcal{L}_{0}^{*}(\alpha)_{+}=\frac{1}{2^{2\alpha+2}},\quad
\mathcal{L}_{1}^{*}(\alpha)_{+}=\frac{1}{2^{2\alpha+4}(\alpha+2)},
\]
где $\mathcal{L}_{r}^{*}(\alpha)_{+}= (\alpha+1)c_{\alpha}^{-2}\mathcal{L}(\alpha,1,\infty,2r)_{+}$ - нормализованная константа Никольского - Бернштейна. Единственными (с точностью до констант) экстремальными функциями являются соответственно функции $j_{\alpha+1}^{2}(x/2)$ и $x^{2}j_{\alpha+2}^{2}(x/2)$. Для доказательства этих результатов мы применяем квадратурную формулу Маркова с узлами в нулях функции Бесселя, а также следующее обобщение недавнего результата В.В. Арестова, А.Г. Бабенко, М.В. Дейкаловой и A.Хорват:
\[
\mathcal{L}(\alpha,p,\infty,2r)=\sup B_{\alpha}^{r}f(0),\quad r\in \mathbb{Z}_{+},
\]
где верхняя грань берется по всем четным действительным функциям на $\mathbb{R}$, принадлежащим $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$. Наш подход основывается на одномерном гармоническом анализе Данкля. В частности, применяется четный положительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T_{\alpha}^{t}$, который ограничен в $L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой $1$, инвариантен на подпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$ и коммутативен с $B_{\alpha}$.

Ключевые слова: весовое неравенство Никольского - Бернштейна, точная константа, целая функция экспоненциального типа, преобразование Данкля, оператор обобщенного сдвига, функция Бесселя

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 с.

2.   Andersen N.B., de Jeu M. Elementary proofs of Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform on the real line // Int. Math. Res. Notices. 2005. Vol. 2005, no. 30. P. 1817–1831.

3.   Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 4. С. 539–547.

4.   Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horv$\acute{\mathrm{a}}$th $\acute{\mathrm{A}}$. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 21–42. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6

5.   Bateman G., Erd$\acute{\mathrm{e}}$lyi A., et al. Higher transcendental functions. Vol. II. N Y: McGraw Hill Book Company, 1953. 396 p. ISBN: 0486446158 .

6.   Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere [e-resource]. 21 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1708.09837.pdf

7.   Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60. P. 303–316. doi: 10.1090/S0025-5718-1993-1149290-5

8.   Ghanem R.B., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 92, no. 2. P. 267–279. doi: 10.1006/jath.1997.3122

9.   Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179–187. doi: 10.4213/mzm936

10.   Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Мат. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346–352. doi: 10.4213/mzm508

11.   Горбачев Д.В. Интегральная задача Конягина и (C,L)-константы Никольского // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 72–91.

12.   Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$  // Чебышевский сб. 2018. № 2. С. 67–79.

13.   Горбачев Д.В., Иванов В.И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма — Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Мат. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63–98. doi: 10.4213/sm8413

14.   Горбачев Д.В., Иванов В.И. Приближение в $L_2$ частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля // Мат. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519–530. doi: 10.4213/mzm11110 .

15.   Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Y. Positive $L^p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018. P. 1–51. doi: 10.1007/s00365-018-9435-5

16.   Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 715–725. doi: 10.1090/S0025-5718-1995-1277767-2 .

17.   Левин Б.Я. Целые функции. Москва: Изд-во МГУ, 1971. 124 c.

18.   Rahman Q.I., Schmeisser G. $L^p$ inequalities for entire functions of exponential type // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 320, no. 1. P. 91–103. doi: 10.1090/S0002-9947-1990-0974526-4

19.   R$\ddot{\mathrm{o}}$sler M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. / eds. E. Koelink, W. Van Assche Berlin: Springer, 2003. Vol. 1817. P. 93–135. doi: 10.1007/3-540-44945-0_3

20.   Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва: Наука, 1977. 480 с.

21.   Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. математическая. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196.

22.   R$\acute{\mathrm{e}}$v$\acute{\mathrm{e}}$sz Sz.Gy. Tur$\acute{\mathrm{a}}$n’s extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. Vol. 37, no. 1. P. 15–50. doi: 10.1007/s10476-011-0102-3 .

23.   Soltani F. $L^p$-Fourier multipliers for the Dunkl operator on the real line // J. Funct. Anal. 2004. Vol. 209, iss. 1. P. 16–35. doi: 10.1016/j.jfa.2003.11.009 .

24.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. 624 с.

Поступила 05.09.2018

После доработки 15.11.2018

Принята к публикации 19.10.2018

Горбачев Дмитрий Викторович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Тульский государственный университет,
г. Тула
e-mail: dvgmail@mail.ru

English

D.V. Gorbachev. Nikolskii – Bernstein constants for nonnegative entire functions of exponential type on the axis

We investigate a weighted version of the Nikolskii-Bernstein inequality
\[ \|\Lambda_{\alpha}^{k}f\|_{q,\alpha}\le \mathcal{L}(\alpha,p,q,k)\sigma^{(2\alpha+2)(1/p-1/q)+k}\|f\|_{p,\alpha},\quad \alpha\ge -1/2, \]
on the subspace $\mathcal{E}^{\sigma}\cap L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$ of entire functions of exponential type. Here $\Lambda_{\alpha}$ is the Dunkl differential-difference operator whose second power generates differential-difference operator $B_{\alpha}$. For $(p,q)=(1,\infty)$, we compute the following sharp constants for nonnegative functions:
\[ \mathcal{L}_{0}^{*}(\alpha)_{+}=\frac{1}{2^{2\alpha+2}},\quad \mathcal{L}_{1}^{*}(\alpha)_{+}=\frac{1}{2^{2\alpha+4}(\alpha+2)}, \]
where $\mathcal{L}_{r}^{*}(\alpha)_{+}= (\alpha+1)c_{\alpha}^{-2}\mathcal{L}(\alpha,1,\infty,2r)_{+}$ denotes the normalized Nikolskii-Bernstein constant. There are unique (up to a constant factor) extremizers $j_{\alpha+1}^{2}(x/2)$ and $x^{2}j_{\alpha+2}^{2}(x/2)$, respectively. These results are proved with the use of the Markov quadrature formula with nodes at zeros of the Bessel function and the following generalization of Arestov, Babenko, Deikalova, and Horv$\acute{\mathrm{a}}$th's recent result:
\[ \mathcal{L}(\alpha,p,\infty,2r)=\sup B_{\alpha}^{r}f(0),\quad r\in \mathbb{Z}_{+}, \]
where the supremum is taken over all even real functions on $\mathbb{R}$ belonging to $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$. Our approach is based on the one-dimensional Dunkl harmonic analysis. In particular, we use the even positive Dunkl-type generalized translation operator $T_{\alpha}^{t}$, which is bounded on $L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ with constant 1, is invariant on the subspace $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$, and commutes with $B_{\alpha}$.

Keywords: weighted Nikolskii-Bernstein inequality, sharp constant, entire function of exponential type, Dunkl transform, generalized translation operator, Bessel function

Received September 05, 2018

Revised November 15, 2018

Accepted November 19, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 18-11-00199).

Dmitry Viktorovich Gorbachev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, 300012 Russia, e-mail: dvgmail@mail.ru