Е.А. Кириллова, Г.С. Сулейманова. Коммутативные идеалы наивысшей размерности нильтреугольной подалгебры алгебры Шевалле над полем С. ... 98-108

УДК 512.554.3

MSC: 17B05, 17B30

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-98-108

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 16-01-00707).

Пусть $N$ - нильтреугольная подалгебра алгебры Шевалле. В статье изучается проблема описания коммутативных подалгебр наибольшей размерности подалгебры $N$ над произвольным полем. Доказывается, что $N$ содержит коммутативный идеал этой размерности. Найдены все такие идеалы. Также описаны максимальные коммутативные идеалы подалгебры $N$ для типов $G_2$ и $F_4$. Как следствие, найдена наибольшая размерность коммутативных подалгебр во всех подалгебрах $N$.

Ключевые слова: алгебра Шевалле, нильтреугольная подалгебра, коммутативные идеалы и идеалы наибольшей размерности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Schur I. Zur theorie der vertauschbaren matrizen // J. reine und angew. Math. 1905. Vol. 130. P. 66–76.

2.   Мальцев А.И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1945. Т. 9, № 4. С. 291–300.

3.   Barry M. J.J. Large Abelian subgroups of Chevalley groups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979. Vol. 27, no. 1. P. 59–87. doi: 10.1017/S1446788700016645 .

4.   Wong W.J. Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups // J. Austral. Math. Soc., Ser. A. 1982. Vol. 32, no. 2. P. 223–245. doi: 10.1017/S1446788700024575 .

5.   Wong W.J. Abelian unipotent subgroups of finite unitary and symplectic groups // J. Austral. Math. Soc., Ser. A. 1982. Vol. 33, no. 2. P. 331–344. doi: 10.1017/S1446788700018759 .

6.   Кондратьев А.С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, № 1 (247). С. 57–96.

7.   Вдовин Е.П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле // Мат. заметки. 2000. Т. 68, вып. 1. С. 53–76.

8.   Вдовин Е.П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 5. С. 523–544.

9.   Levchuk V.M., Suleimanova G.S. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type // J. Algebra. 2012. Vol. 349, iss. 1. P. 98–116. doi: 10.1016/j.jalgebra.2011.10.025 .

10.   Levchuk V.M., Suleimanova G.S. Thompson subgroups and large abelian unipotent subgroups of Lie-type groups // J. Siberian Federal University. Math. & Physics. 2013. Vol. 6, no. 1. P. 64–74.

11.   Carter R. Simple groups of Lie type. New York: Wiley and Sons, 1972. 332 p. ISBN 0-471-13735-9 .

12.   Levchuk V.M., Suleimanova G.S. A problem of large abelian subgroups and the generalized Mal’cev problem // Proc. XII Intern. Conf. “Algebra and number theory”. Тула: Изд-во Тульского гос. пед. ун-та, 2014. С. 108–111. ISBN: 978-5-87954-874-7 

13.   Levchuk V.M., Suleimanova G.S. The generalized Mal’cev problem on abelian subalgebras of the Chevalley algebras // Lobachevskii J. Math. 2015. Vol. 86. No. 4. P. 384–388. doi: 10.1134/S1995080215040083 .

14.   Кравцова Е.А. Максимальные коммутативные идеалы подалгебры NФ(K) алгебр Ли типа F4 // Молодежь и наука: сб. материалов Х Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Красноярск: Сиб. федеральный ун-т, 2014. ISBN: 978-5-7638-3102-3 .

15.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (гл. IV–VI). М.: Мир, 1976. 332 с.

16.   Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 3. С. 315–338.

17.   Левчук В.М., Литаврин А.В. Гиперцентральные автоморфизмы нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 467–477.

Поступила 10.06.2018

Кириллова Евгения Алексеевна
аспирант
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет,
г. Красноярск
e-mail: kea92@bk.ru

Сулейманова Галина Сафиуллановна
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры ПИМиЕД
Хакасский технический институт
(филиал Сибирского федерального университета),
г. Абакан
e-mail: suleymanova@list.ru

English

E.A. Kirillova, G.S. Suleimanova. Highest dimension commutative ideals of a niltriangular subalgebra of a Chevalley algebra over a field

Let $N$ be a niltriangular subalgebra of a Chevalley algebra. We study the problem of describing commutative ideals of $N$ of the highest dimension over an arbitrary field. It is proved that $N$ contains a commutative ideal of this dimension, and all such ideals are found. In addition, all maximal commutative ideals of $N$ are described for the types $G_2$ and $F_4$. As a consequence, the highest dimension of commutative subalgebras in all subalgebras of $N$ is found.

Keywords: Chevalley algebra, niltriangular subalgebra, commutative ideals and highest dimension ideals

The paper was received by the Editorial Office on Juny 10, 2018.

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 16-01-00707).

Evgeniya Alekseevna Kirillova, doctoral student, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: kea92@bk.ru

Galina Safiullanovna Suleimanova, Dr. Phys.-Math. Sci., Khakas Technical Institute — Branch of Siberian Federal University, Abakan, 655017 Russia, e-mail: suleymanova@list.ru

[References -> on the "English" button bottom right]