А.С. Кондратьев, В.И. Трофимов. Стабилизаторы вершин графов с примитивными группами автоморфизмов и усиленная версия гипотезы Симса. IV ... С. 109-132

УДК 512.542+519.175

MSC: 20B15, 20D06, 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-109-132

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00061-П)

Четвертая из цикла статей, результаты которого влекут справедливость усиленной версии гипотезы Симса о конечных примитивных группах подстановок.  Данная статья посвящена рассмотрению случая примитивных групп подстановок с простым цоколем ортогонального лиева типа и непараболическим стабилизатором точки. Пусть $G$ - конечная группа и $M_1$, $M_2$ - различные сопряженные максимальные подгруппы группы $G$. Для каждого $i\in \mathbb  N$ индуктивно определим подгруппы $(M_1,M_2) ^{i}$ и $(M_2,M_1)^{i}$ из $M_1\cap M_2$, называемые нами $i$-ми взаимными ядрами подгруппы $M_1$ относительно $M_2$ и подгруппы $M_2$ относительно $M_1$ соответственно. Положим $(M_1,M_2)^{1} = (M_1\cap M_2)_{M_1}$ и $(M_2,M_1)^{1} = (M_1\cap M_2)_{M_2}.$ Для $i\in \mathbb  N$, предполагая, что $(M_1,M_2)^{i}$ и $(M_2,M_1)^{i}$ уже определены, положим $(M_1,M_2)^{i+1} = ((M_1,M_2)^{i}\cap (M_2,M_1)^{i})_{M_1}$ и $(M_2,M_1)^{i+1} = ((M_1,M_2)^{i}\cap (M_2,M_1)^{i})_{M_2}.$ Нас интересует случай, когда $(M_1)_G = (M_2)_G = 1$ и $1 < |(M_1,M_2)^{2}| \leq |(M_2,M_1)^{2}|$. Множество всех таких троек $(G, M_1, M_2)$ обозначается через $\Pi$.  Мы рассматриваем тройки из $\Pi$ с точностью до следующей эквивалентности: тройки $(G,M_1,M_2)$ и $(G',M'_1,M'_2)$ из $\Pi$ эквивалентны, если существует изоморфизм  $G$ на $G'$, отображающий $M_1$ на $M'_1$ и $M_2$ на $M'_2$. В данной статье доказана следующая теорема.

 Теорема.
 Пусть $(G, M_1, M_2)\in\Pi$, $L=\mathrm {Soc}(G)$ - простая ортогональная группа степени $\geq 7$ и $M_1\cap L$ - непараболическая подгруппа в $L$. Тогда $\mathrm {Soc}(G)\cong P\Omega^+_8(r)$, где $r$ - некоторое нечетное простое число,
$(M_1, M_2)^3=(M_2,M_1)^3=1$ и выполняется одно из следующих утверждений$:$

$\mathrm (a)$ $r\equiv\pm1 (mod 8)$, группа $G$ изоморфна $P\Omega^+_8(r):{\mathbb Z}_3$ или $P\Omega^+_8(r):S_3$, $(M_1, M_2)^2=Z(O_2(M_1))$ и $(M_2, M_1)^2=Z(O_2(M_2))$ - элементарные абелевы группы порядка $2^3$, $(M_1, M_2)^1=O_2(M_1)$ и $(M_2, M_1)^1=O_2(M_2)$ - специальные группы порядка $2^9$, группа $M_1/O_2(M_1)$ изоморфна $L_3(2)\times {\mathbb Z}_3$ или $L_3(2)\times S_3$ соответственно и $M_1\cap M_2$ - силовская $2$-подгруппа в $M_1$$;$

$\mathrm (b)$  $r\leq 5$, группа $G/L$ либо содержит $Outdiag(L)$, либо изоморфна ${\mathbb Z}_4$, $(M_1, M_2)^2=Z(O_2(M_1\cap L))$ и $(M_2, M_1)^2=Z(O_2(M_2\cap L))$ - элементарные абелевы группы порядка $2^2$, $(M_1, M_2)^1=(O_2(M_1\cap L))'$ и $(M_2, M_1)^1=(O_2(M_2\cap L))'$ - элементарные абелевы группы порядка $2^5$, $O_2(M_1\cap L)/(O_2(M_1\cap L))'$ - элементарная абелева группа порядка $2^6$, группа $(M_1\cap L)/O_2(M_1\cap L)$ изоморфна $S_3$, $|M_1:M_1\cap M_2|=24$, $|M_1\cap M_2\cap L|=2^{11}$, элемент порядка $3$  из  $M_1\cap M_2$ (если он существует) индуцирует на группе $L$ ее графовый автоморфизм.

В каждом из случаев  $\mathrm (a)$ и $\mathrm (b)$ тройки $(G, M_1, M_2)$ существуют и образуют один класс эквивалентности.

Ключевые слова: конечная примитивная группа подстановок, стабилизатор точки, гипотеза Симса, почти простая группа, группа ортогонального лиева типа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972. 334 с.

2.   Кондратьев А.С. Нормализаторы силовских 2-подгрупп в конечных простых группах // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 368–376.

3.   Кондратьев А.С., Tрофимов В.И. Стабилизаторы вершин графов и усиленная версия гипотезы Симса // Докл. АН. 1999. Т. 364, № 6. С. 741–743.

4.   Кондратьев А.С., Tрофимов В.И. Стабилизаторы вершин графов с примитивными группами автоморфизмов и усиленная версия гипотезы Симса. I, II, III // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 4. С. 143–152; 2016. Т. 22, № 2. С. 177–187; 2016. Т. 22, № 4. С. 163–172.

5.   Aschbacher M. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. 1984. Vol. 76, no. 3. P. 469–514. doi: 10.1007/BF01388470 .

6.   Atlas of finite groups / J.H. Conway [et. al.]. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p. ISBN: 0198531990 .

7.   Barry M.J.J. Large abelian subgroups of Chevalley groups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979. Vol. 27, no. 1. P. 59–87. doi: 10.1080/00927879008823931 .

8.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 438 p. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 407).

9.   Carter R.W. Simple groups of Lie type. London: Wiley, 1972. 331 p. ISBN: 0471137359 .

10.   The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Ver. 4.9.1. 2018. URL: http://www.gap-system.org.

11.   Gerono G.C. Note sur la r$\acute{\mathrm{e}}$solution en nombres entiers et positifs de l’$\acute{\mathrm{e}}$quation $x^m = y^n + 1$ // Nouv. Ann. Math. (2). 1870. Vol. 9. P. 469–471.

12.   Gorenstein D. Finite groups. N. Y.: Harper and Row, 1968. 528 p.

13.   Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Providence, RI: Amer. Math. Soc. 1998. 420 p. (Math. Surveys Monogr.; vol. 40, no. 3).

14.   Kleidman P.B. The maximal subgroups of the finite 8-dimensional orthogonal groups $P\Omega^+_8 q)$  and of their automorphism groups // J. Algebra. 1987. V. 110, no. 1. P. 173–242. doi: 10.1016/0021-8693(87)90042-1 .

15.   Kleidman P.B., Liebeck M.W. The subgroup structure of the finite classical groups. Сambridge: Cambridge University Press, 1990. 304 p. ISBN: 978-0-8218-0391-2 .

16.   Timmesfeld F.G. Amalgams with rank 2 groups of Lie-type in characteristic 2. Preprint. Giessen: University Giessen, 1984. 126 p.

Поступила 25.12.2017

Кондратьев Анатолий Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Трофимов Владимир Иванович

д-р физ.-мат. наук

ведущий науч. сотрудник

Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;

Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург

e-mail: trofimov@imm.uran.ru

 

English

 

A.S. Kondrat’ev, V.I. Trofimov. Stabilizers of vertices of graphs with primitive automorphism groups and a strong version of the Sims conjecture. IV

 

This is the fourth in  a series of papers whose results imply the validity of a strengthened version of the  Sims conjecture on finite primitive permutation groups. In this paper, the case of primitive groups with simple socle of orthogonal Lie type  and nonparabolic point stabilizer is considered. Let $G$ be a finite group, and let $M_1$ and $M_2$ be distinct conjugate maximal subgroups of $G$. For any $i\in \mathbb N$, we define inductively subgroups $(M_1,M_2) ^{i}$ and $(M_2,M_1)^{i}$ of $M_1\cap M_2$, which will be called the $i$th mutual cores of $M_1$ with respect to $M_2$ and of $M_2$ with respect to $M_1$, respectively. Put $(M_1,M_2)^{1}=(M_1\cap M_2)_{M_1}$ and $(M_2,M_1)^{1}=(M_1\cap M_2)_{M_2}$. For $i\in \mathbb  N$, assuming that $(M_1,M_2)^{i}$ and $(M_2,M_1)^{i}$ are already defined, put $(M_1,M_2)^{i+1} = ((M_1,M_2)^{i}\cap (M_2,M_1)^{i})_{M_1}$ and $(M_2,M_1)^{i+1} = ((M_1,M_2)^{i}\cap (M_2,M_1)^{i})_{M_2}$. We are interested in the case when $(M_1)_G=(M_2)_G=1$ and $1<|(M_1,M_2)^{2}| \leq |(M_2,M_1)^{2}|$. The set of all such triples $(G, M_1, M_2)$ is denoted by $\Pi$. We consider triples from $\Pi$ up to the following equivalence: triples $(G,M_1,M_2)$ and $(G',M'_1,M'_2)$ from $\Pi$ are equivalent if there exists an isomorphism from $G$ to $G'$ mapping $M_1$ to $M'_1$ and $M_2$ to $M'_2$. In the present paper, the following theorem is proved.

Theorem.
Suppose that $(G, M_1, M_2)\in\Pi$, $L=Soc(G)$ is a simple orthogonal group of degree $\geq 7$, and $M_1\cap L$ is a nonparabolic subgroup of $L$. Then $Soc(G)\cong P\Omega^+_8(r)$, where $r$ is an odd prime, $(M_1, M_2)^3=(M_2,M_1)^3=1$, and one of the following statements holds$:$

$\mathrm (a)$   $r\equiv\pm1 (\mathrm{mod} 8)$; the group $G$ is isomorphic to $P\Omega^+_8(r):{\mathbb Z}_3$ or $P\Omega^+_8(r):S_3$; $(M_1, M_2)^2=Z(O_2(M_1))$ and $(M_2, M_1)^2=Z(O_2(M_2))$ are elementary abelian groups of order $2^3$; $(M_1, M_2)^1=O_2(M_1)$ and $(M_2,
M_1)^1=O_2(M_2)$ are special groups of order $2^9$; the group $M_1/O_2(M_1)$ is isomorphic to $L_3(2)\times {\mathbb Z}_3$ or $L_3(2)\times S_3$, respectively; and $M_1\cap M_2$ is a Sylow $2$-subgroup in $M_1$;

$\mathrm (b)$   $r\leq 5$; $G/L$ either contains $Outdiag(L)$ or is isomorphic to ${\mathbb Z}_4$; $(M_1, M_2)^2=Z(O_2(M_1\cap L))$ and $(M_2, M_1)^2=Z(O_2(M_2\cap L))$ are elementary abelian groups of order $2^2$; $(M_1, M_2)^1=(O_2(M_1\cap L))'$ and $(M_2, M_1)^1=(O_2(M_2\cap L))'$ are elementary abelian groups of order $2^5$; $O_2(M_1\cap L)/(O_2(M_1\cap L))'$ is an elementary abelian group of order $2^6$; the group $(M_1\cap L)/O_2(M_1\cap L)$ is isomorphic to the group $S_3$; $|M_1:M_1\cap M_2|=24$; $|M_1\cap M_2\cap L|=2^{11}$; and an element of order $3$ from $M_1\cap M_2$ (if it exists) induces on the group $L$ its graph automorphism.

In any of cases $\mathrm (a)$ and $\mathrm (b)$, the triples $(G,M_1,M_2)$ from $\Pi$ exist and form one class up to equivalence.

Keywords: finite primitive permutation group,  stabilizer of a point,  Sims conjecture, almost simple group, group of orthogonal Lie type

The paper was received by the Editorial Office on Deсember 25, 2017.

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00061-П).

Anatolii Semenovich  Kondrat’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Vladimir Ivanovich Trofimov, Dr. Phys.-Math. Sci., N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, trofimov@imm.uran.ru

[References -> on the "English" button bottom right]