М.Р. Зиновьева. О конечных простых линейных и унитарных группах малых размерностей над полями разных характеристик, графы простых чисел которых совпадают ... С. 73-90

УДК 512.542

MSC: 05C25, 20D05, 20D06

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-73-90

Работа выполнена при финансовой поддержке Комплексной программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект 18-1-1-17, и в рамках проекта повышения конкурентоспособности, Соглашение между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, №02.A03.21.0006.

 Пусть $G$ - конечная группа, $\pi(G)$ - множество простых делителей ее порядка, $\omega(G)$ - множество порядков ее элементов. На $\pi(G)$ определяется граф со следующим отношением смежности: различные вершины $r$ и $s$ из $\pi(G)$ смежны тогда и только тогда, когда $rs\in \omega(G)$. Этот граф называется графом Грюнберга - Кегеля или графом простых чисел группы $G$ и обозначается через $GK(G)$. В "Коуровской тетради" А. В. Васильев поставил вопрос 16.26 об описании всех пар неизоморфных конечных простых неабелевых групп с одинаковым графом Грюнберга - Кегеля. Хаги и М. А. Звездина получили такое описание в случае, когда одна из групп совпадает со спорадической и знакопеременной группой соответственно.Автор решил этот вопрос для конечных простых групп лиева типа над полями одной характеристики. В данной работе доказана следующая теорема.

Теорема.  Пусть $G=A_{n-1}^{\pm}(q)$, где $n\in\{3,4,5,6\}$, и $G_1$ - неизоморфная группе $G$ конечная простая группа лиева типа над полем порядка $q_1$, где $q=p^f$, $q_1=p_1^{f_1}$, $p$ и $p_1$ - различные простые числа.
Если графы $GK(G)$ и $GK(G_1)$ совпадают, то выполнено одно из следующих утверждений:
$(1)$ $\{G,G_1\}=\{A_1(7),A_1(8)\}$;
$(2)$ $\{G,G_1\}=\{A_3(3),{^2}F_4(2)'\}$;
$(3)$ $\{G,G_1\}=\{{^2}A_3(3),A_1(49)\}$;
$(4)$ $\{G,G_1\}=\{A_2(q),{^3}D_4(q_1)\}$, где $(q-1)_3\neq 3$, $q+1\neq 2^k$ и $q_1>2$;
$(5)$ $\{G,G_1\}=\{A_4^{\varepsilon}(q),A_4^{\varepsilon_1}(q_1)\}$, где $qq_1$ нечетно;
$(6)$ $\{G,G_1\}=\{A_4^{\varepsilon}(q),{^3}D_4(q_1)\}$, где $(q-\epsilon1)_5\neq 5$ и $q_1>2$;
$(7)$ $G=A_5^{\varepsilon}(q)$, $G_1\in\{B_3(q_1),C_3(q_1),D_4(q_1)\}$.

Ключевые слова: конечная простая группа лиева типа, граф простых чисел, спектр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 16-е изд. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-т, 2006.

2.   Hagie M. The prime graph of a sporadic simple group // Comm. Algebra. 2003. Vol. 31, no. 9. P. 4405–4424.

3.   Звездина М.А. О неабелевых простых группах с графом простых чисел как у знакопеременной группы // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 1. С. 65–76.

4.   Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. T. 180, № 6. С. 787–797.

5.   Williams J.S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487–513.

6.   Васильев А.В., Вдовин Е.П. Критерий смежности в графе простых чисел // Алгебра и логика. 2005. Т. 44, № 6. С. 682–725.

7.   Васильев А.В., Вдовин Е.П. Коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2011. Т. 50, № 4. С. 425–470.

8.   Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. 1892. Bd 3. S. 265–284.

9.   Gerono G.C. Note sur la r$\acute{\mathrm{e}}$solution en nombres entiers et positifs de l’$\acute{\mathrm{e}}$quation $x^m = y^n + 1$ // Nouv. Ann. Math. (2). 1870. Vol. 9. P. 469–471.

10.   Crescenzo P. A diophantine equation which arises in the theory of finite groups // Adv. in Math. 1975. Vol. 17. P. 25–29.

11.   Zavarnitsine A.V. Recognition of the simple groups $L_3(q)$ by element orders // J. Group Theory. 2004. Vol. 7. P. 81–97.

12.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sib. Elec. Math. Rep. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

Поступила 10.07.2018

Зиновьева Марианна Рифхатовна 
канд. физ.-мат. наук, старший научн. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru

English

M. R. Zinov'eva. On finite simple linear and unitary groups of small size over fields of different characteristics with coinciding prime graphs

Suppose that $G$ is a finite group, $\pi(G)$ is the set of prime divisors of its order, and $\omega(G)$ is the set of orders of its elements. A graph with the following adjacency relation is defined on $\pi(G)$: different vertices $r$ and $s$ from $\pi(G)$ are adjacent if and only if~$rs\in \omega(G)$. This graph is called the Gruenberg-Kegel graph or the prime graph of $G$ and is denoted by $GK(G)$. In A. V. Vasil'ev's Question 16.26 from the "Kourovka Notebook," it is required to describe all pairs of nonisomorphic simple nonabelian groups with identical Gruenberg-Kegel graphs. M. Hagie and M. A. Zvezdina gave such a description in the case where one of the groups coincides with a sporadic group and an alternating group, respectively. The author solved this question for finite simple groups of Lie type over fields of the same characteristic. In the present paper we prove the following theorem.

Theorem.  Let $G=A_{n-1}^{\pm}(q)$, where $n\in\{3,4,5,6\}$, and let $G_1$ be a finite simple group of Lie type over a field of order $q_1$ nonisomorphic to $G$, where $q=p^f$, $q_1=p_1^{f_1}$, and $p$ and~$p_1$ are different primes. If the graphs $GK(G)$ and $GK(G_1)$ coincide, then one of the following statements holds:

$(1)$ $\{G,G_1\}=\{A_1(7),A_1(8)\}$;

$(2)$ $\{G,G_1\}=\{A_3(3),{^2}F_4(2)'\}$;

$(3)$ $\{G,G_1\}=\{{^2}A_3(3),A_1(49)\}$;

$(4)$ $\{G,G_1\}=\{A_2(q),{^3}D_4(q_1)\}$, where $(q-1)_3\neq 3$, $q+1\neq 2^k$, and $q_1>2$;

$(5)$ $\{G,G_1\}=\{A_4^{\varepsilon}(q),A_4^{\varepsilon_1}(q_1)\}$, where $qq_1$ is odd;

$(6)$ $\{G,G_1\}=\{A_4^{\varepsilon}(q),{^3}D_4(q_1)\}$, where $(q-\epsilon1)_5\neq 5$ and $q_1>2$;

$(7)$ $G=A_5^{\varepsilon}(q)$ and $G_1\in\{B_3(q_1),C_3(q_1),D_4(q_1)\}$.

Keywords: finite simple group of Lie type, prime graph, Gruenberg-Kegel graph, spectrum.

The paper was received by the Editorial Office on July 10, 2018.

Funding Agency: This work was supported by the Integrated Program for Fundamental Research of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences (project no. 18-1-1-17) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Marianna Rifkhatovna Zinov’eva, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Ekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: zinovieva-mr@yandex.ru

 

[References -> on the "English" button bottom right]