Н.А. Ильясов. О равносильности некоторых неравенств теории приближений периодических функций в пространствах $L_{p}(\mathbb T), 1<p<\infty$ ... С.93-106

УДК 517.518.832

MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 41A27

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-93-106

В статье предлагается метод, который позволяет, в частности, установить равносильность известных оценок М.Ф. Тимана для $L_{p}$-модулей гладкости $r$-го порядка $\omega_{r}(f;{\pi/n})_{p}$ и оценок О.В. Бесова для $L_p$-норм производных $r$-го порядка $\|f^{(r)}\|_{p}$ посредством элементов последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ наилучших приближений $2\pi$-периодической функции $f\in L_{p}(\mathbb T)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1,\ n\in \mathbb N$, где $r\in \mathbb N,\ 1<p<\infty,\ \mathbb T=(-\pi,\pi]$.

Теорема 1.
Пусть $1<p<\infty,\ \theta=\min\{2,p\}$, $r\in \mathbb N$, $f\in L_{p}(\mathbb T)$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p}<\infty$. Тогда выполнение неравенства $\omega_{r}(f;\pi/n)_{p} \le C_{1}(r,p)n^{-r} \Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\theta r-1}E_{\nu-1}^{\theta}(f)_{p}\Big)^{1/\theta}$, $n\in \mathbb N$, необходимо и достаточно, чтобы $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ и имело место неравенство $\|f^{(r)}\|_{p} \le C_{2}(r,p) \Big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p}\Big)^{1/\theta}$, где $L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ - класс функций $f\in L_{p}(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывную производную $(r-1)$-го порядка и $f^{(r)} \in L_{p}(\mathbb T)$.

Теорема 2.
Пусть $1<p<\infty,\ \beta=\max\{2,p\}$, $r\in \mathbb N$ и $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$. Тогда выполнение неравенства $n^{-r}\Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\beta r-1} E_{\nu-1}^{\beta}(f)_{p}\Big)^{1/\beta}\le C_{3}(r,p)\omega_{r}(f;\pi/n)_{p}$,\ $n\in \mathbb N$, необходимо и достаточно для справедливости неравенства $\Big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\beta r-1}E_{n-1}^{\beta}(f)_{p}\Big)^{1/\beta}\le C_{4}(r,p)\|f^{(r)}\|_{p}$.

В силу справедливости порядкового равенства $\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1} E_{\nu-1}^{\alpha}(f)_{p}\asymp \sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1}\omega_{l}^{\alpha} (f;\pi/\nu)_{p},\ n\in \mathbb N \cup \{+\infty\}$, где $1\le \alpha <\infty$, $l\in \mathbb N$, $l>r$, утверждения теорем 1 и 2 остаются в силе, если вместо последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ рассматривать последовательность $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ (теоремы 3 и 4). Метод, используемый при доказательстве теорем 1 и 2, применяется к получению равносильных оценок сверху и равносильных оценок снизу для величин $E_{n-1}(f^{(r)})_{p}$ и $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{p},\ n\in \mathbb N,$ посредством элементов последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$, где $k,r\in \mathbb N,\  1<p<\infty$.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, неравенства теории приближений, равносильные неравенства, неравенства М.Ф. Тимана, неравенства О.В. Бесова.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тиман М.Ф. Обратные теоремы конструктивнoй теории функций в пространствах $L_{p}\ (1\le p\le \infty)$ // Мат. сб. 1958. Т. 46(88), № 1. С. 125–132.

2.   Тиман М.Ф. О теореме Джексона в пространствах $L_p$ // Укр. мат. журн. 1966. Т. 18, № 1. С. 134–137. doi: 10.1007/BF02537726 .

3.   Бесов О.В. О некоторых условиях принадлежности к $L_p$ производных периодических функций // Науч. докл. высш. школы. Физ.-мат. науки. 1959. № 1. С. 13–17.

4.   Тиман А.Ф., Тиман М.Ф. Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем // Докл. АН СССР. 1950. Т. LXXI, № 1. С. 17–20.

5.   Zygmund A. A remark on the integral modulus of continuity // Univ. Nac. Tucuman Revista. 1950. Ser. A. Vol. 7. P. 259–269.

6.   Zygmund A. Smooth functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, no. 1. P. 47–76. doi: 10.1215/S0012-7094-45-01206-3 .

7.   Стечкин С.Б. О теореме Колмогорова — Селиверстова // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1953. Т. 17, № 6. С. 499–512.

8.   Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15, № 3. С. 219–242.

9.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

10.   Hardy G.H., Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals. I. // Math. Zeit. 1928. Bd. 27, no. 4. S. 565–606. doi: 10.1007/BF01171116 .

11.   Marcinkiewicz J. Sur quelques integrals du type de Dini // Ann. Soc. Polon. Math. 1938. Vol. 17. P. 42–50.

12.   Zygmund A. On certain integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 1944. Vol. 55, no. 2. P. 170–204.

13.   Riesz M. Sur les fonctions conjuguees // Math. Zeit. 1927. Bd. 27, no. 2. S. 218–244. doi: 10.1007/BF01171098 .

14.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2-х т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.

15.   Quade E.S. Trigonometric approximation in the mean // Duke Math. J. 1937. Vol. 3, no. 3. P. 529–543. doi: 10.1215/S0012-7094-37-00342-9 .

16.   Брудный Ю.А. Критерии существования производных в $L_p$ // Мат. сб. 1967. Т. 73 (115), № 1. С. 42–64.

17.   Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 368 с.

18.   Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

19.   Тиман М.Ф. Наилучшее приближение и модуль гладкости функций, заданных на всей вещественной оси // Изв. вузов. Математика. 1961. № 6 (25). С. 108–120.

Поступила 13.03.2018

Ильясов Ниязи Аладдин оглы
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры математического анализа
Бакинский государственный университет,
г. Баку
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

English

N.A. Il’yasov. On the equivalence of some inequalities in the theory of approximation of periodic functions in the spaces $L_p(\mathbb T), 1 < p < \infty$.

We propose a method for proving, in particular, the equivalence of M.F. Timan's known estimates for the $r$th-order $L_{p}$-moduli of smoothness $\omega_{r}(f;{\pi/n})_{p}$ and O.V. Besov's estimates for the $L_p$-norms $\|f^{(r)}\|_{p}$ of $r$th-order derivatives by using elements of the sequence $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ of the best approximations of a $2\pi$-periodic function $f\in L_{p}(\mathbb T)$ by trigonometric polynomials of order at most $n-1$, $n\in \mathbb N$, where $r\in \mathbb N$, $1<p<\infty$, and $\mathbb T=(-\pi,\pi]$.

Theorem 1.  Let $1<p<\infty$, $\theta=\min\{2,p\}$, $r\in \mathbb N$, $f\in L_{p}(\mathbb T)$, and $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p}<\infty$. Then the inequality $\omega_{r}(f;\pi/n)_{p}\le C_{1}(r,p)n^{-r}\Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\theta r-1}E_{\nu-1}^{\theta}(f)_{p}\Big)^{1/\theta}$, $n\in \mathbb N$, is satisfied if and only if $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ and $\|f^{(r)}\|_{p} \le C_{2}(r,p) \Big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p}\Big)^{1/\theta}$, where $L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ is the class of functions $f\in L_{p}(\mathbb T)$ with absolutely continuous derivative of the $(r-1)$th order and $f^{(r)} \in L_{p}(\mathbb T)$.

Theorem 2.  Suppose that $1<p<\infty$, $\beta=\max\{2,p\}$, $r\in \mathbb N$, and $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$. Then the inequality  $n^{-r}\Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\beta r-1} E_{\nu-1}^{\beta}(f)_{p}\Big)^{1/\beta}\le C_{3}(r,p)\omega_{r}(f;\pi/n)_{p}$ is satisfied for $n\in \mathbb N$ if and only if the inequality $\Big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\beta r-1}E_{n-1}^{\beta}(f)_{p}\Big)^{1/\beta}\le C_{4}(r,p)\|f^{(r)}\|_{p}$ is satisfied.

In view of the order identity $\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1}E_{\nu-1}^{\alpha}(f)_{p}\asymp\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1} \omega_{l}^{\alpha}(f;\pi/\nu)_{p}$, $n\in\mathbb N\cup\{+\infty\}$, where $1\le\alpha<\infty$, $l\in\mathbb N$, and $l>r$, the assertions of Theorems 1 and 2 remain valid if we replace the sequence $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ by the sequence $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ (Theorems 3 and 4). The method used in the proof of Theorems 1 and 2 can be applied to derive equivalent upper estimates and equivalent lower estimates for the values $E_{n-1}(f^{(r)})_{p}$ and $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{p}$, $n\in \mathbb N$, by means of elements of the sequence $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$, where $k,r\in \mathbb N$ and $1<p<\infty$.

Keywords: best approximation, modulus of smoothness, inequalities of approximation theory, equivalent inequalities, Timan's inequalities, Besov's inequalities.

The paper was received by the Editorial Office on March 13, 2018.

N.A. Il’yasov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Baku State University, Baku, Azerbaijan,
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com.