A.P. Данилин, О.О. Коврижных. Об одной сингулярно возмущенной задаче быстродействия с двумя малыми параметрами ... С. 76-92

УДК 517.977

MSC: 93C70, 49N05

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-76-92

Работа выполнена при частичной поддержке Программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (Соглашение с Минобрнауки РФ 02.А03.21.0006 от 27 августа 2013 г.).

В настоящей работе исследована задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с двумя независимыми малыми параметрами и гладкими геометрическими ограничениями на управление в виде шара. Основное отличие от ранее рассмотренных систем с быстрыми и медленными переменными заключается в том, что в данном случае матрица при быстрых переменных представляет собой многомерный аналог жордановой клетки второго порядка с нулевым собственным числом и тем самым не удовлетворяет стандартному условию асимптотической устойчивости. Настоящая работа является продолжением исследования авторов. Здесь рассмотрены начальные условия, зависящие от второго малого параметра; в вырожденном случае это привело к принципиально другому виду асимптотики решения. Доказана разрешимость задачи. Получена и обоснована полная асимптотика в смысле Эрдейи по степенной асимптотической последовательности времени быстродействия и оптимального управления относительно малого параметра при производных в уравнениях системы.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача быстродействия, асимптотическое разложение, сингулярно возмущенные задачи, малый параметр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Физматгиз, 1961. 391 c.

2.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. 476 c.

3.   Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Математический анализ. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 20. С. 3–77.

4.   Kokotovic P.V., Haddad A.H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. Vol. 20, no. 1. P. 111–113. doi: 10.1109/TAC.1975.1100852 .

5.   Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 c.

6.   Гичев Т.Р., Дончев А.Л. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия // Прикл. математика и механика. 1979. Т. 43, № 3. С. 466–474.

7.   Данилин А.Р., Ильин А.М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундамент. и прикл. математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 905–926.

8.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров // Вест. ЧелГУ. 2011. № 27. С. 46–60. (Математика, механика, информатика; вып. 14.)

9.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. О задаче управления точкой малой массы в среде без сопротивления // Докл. РАН. 2013. Т. 451, № 6. С. 612–614.

10.   Еrdelуi A., Wyman М. The asymptotic evaluation of certain integrals // Аrсh. Ration. Mech. Anal. 1963. Vol. 14. P. 217–260.

11.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

12.   Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 12. С. 2166–2177.

13.   Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с. ISBN: 978-5-9221-1056-3 .

14.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 752 c.

Поступила 30.03.2018

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
зав. отделом,
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
Уральский федеральный университет им. Б.Н.Ельцина,
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

Коврижных Ольга Олеговна, канд. физ.-мат. наук,
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
Уральский федеральный университет им. Б.Н.Ельцина,
г. Екатеринбург
e-mail: koo@imm.uran.ru

English

A. R. Danilin, O. O. Kovrizhnykh. On a singularly perturbed time-optimal control problem with two small parameters.

In this paper we investigate a time-optimal control problem for a singularly perturbed linear autonomous system with two independent small parameters and smooth geometric constraints on the control in the form of a ball. The main difference of this case from the systems with fast and slow variables studied earlier is that here the matrix at the fast variables is a multidimensional analog of the second-order Jordan cell with zero eigenvalue and, thus, does not satisfy the standard condition of asymptotic stability. Continuing the research, we consider initial conditions depending on the second small parameter; in the degenerate case, this resulted in an asymptotic expansion of the solution of a fundamentally different type. The solvability of the problem is proved. We also derive and justify a complete power asymptotic expansion in the sense of Erdelyi of the optimal time and optimal control with respect to a small parameter at the derivatives in the equations of the systems.

Keywords: optimal control, time-optimal control problem, asymptotic expansion, singularly perturbed problem, small parameter.

The paper was received by the Editorial Office on March 30, 2018.

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru.

Ol’ga Olegovna Kovrizhnykh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: koo@imm.uran.ru.