А.А. Ковалевский. О сходимости решений вариационных задач с неявными ограничениями, заданными быстро осциллирующими функциями ... С. 107-122

УДК 517.972

MSC: 49J40, 49J45

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-107-122

Работа выполнена при поддержке госбюджетного проекта “Развитие концепции позиционного управления, минимаксного подхода и сингулярных возмущений в теории дифференциальных уравнений” и Программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (cоглашение с Минобрнауки РФ 02.A03.21.0006 от 27 августа 2013 г.).

Для функционалов, определенных на переменных пространствах Соболева, установлен ряд результатов о сходимости их минимизантов и минимальных значений на множествах функций, подчиненных неявным ограничениям посредством периодических быстро осциллирующих функций. В связи с формулировкой и обоснованием этих результатов введено определение Γ-сходимости функционалов, соответствующее заданным множествам ограничений. Специфика введенного определения заключается в том, что в нем идет речь о сходимости последовательности функционалов, определенных на переменных пространствах Соболева, к некоторой функции на вещественной прямой. Рассмотренные задачи минимизации имеют ту особенность, что для обоснования сходимости последовательности их решений сильная связанность областей определения соответствующих функционалов не требуется, тогда как эта связанность существенна, например, при исследовании сходимости решений вариационных задач Неймана и вариационных задач с явными односторонними и двусторонними ограничениями в переменных областях. Кроме упомянутых результатов, установлены также теоремы Γ-компактности последовательностей функционалов относительно заданных множеств ограничений.

Ключевые слова: вариационная задача, неявное ограничение, переменные области, функционал, минимизант, минимальное значение, Γ-сходимость.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Dal Maso G. Asymptotic behaviour of minimum problems with bilateral obstacles // Ann. Mat. Pura Appl. (4). 1981. Vol. 129, no. 1. P. 327–366. doi: 10.1007/BF01762149 .

2.   Ковалевский А.А. О некоторых вопросах, связанных с проблемой усреднения вариационных задач для функционалов с переменной областью определения // Современный анализ и его приложения. Киев: Наукова думка, 1989. С. 62–70.

3.   Boccardo L., Murat F. Homogenization of nonlinear unilateral problems // Composite Media and Homogenization Theory. Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 5. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1991. P. 81–105. doi: 10.1007/978-1-4684-6787-1_6 .

4.   Ковалевский А.А. G-сходимость и усреднение нелинейных эллиптических операторов дивергентного вида с переменной областью определения // Изв. РАН. Сер. математическая. 1994. Т. 58, № 3. С. 3–35.

5.   Kovalevsky A.A. On the convergence of solutions to bilateral problems with the zero lower constraint and an arbitrary upper constraint in variable domains // Nonlinear Anal. 2016. Vol. 147. P. 63–79. doi: 10.1016/j.na.2016.09.001 .

6.   Сандраков Г.В. Осреднение вариационных неравенств и уравнений, определенных псевдомонотонным оператором // Мат. сб. 2008. Т. 199, № 1. С. 67–100.

7.   Ковалевский А.А. Усреднение переменных вариационных задач // Докл. АН УССР. Сер. A. 1988. № 8. С. 6–9.

8.   Жиков В.В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного исчисления // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1983. Т. 47, № 5. С. 961–998.

9.   Хруслов Е.Я. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи при измельчении границы области // Мат. сб. 1978. Т. 106, № 4. С. 604–621.

10.   Evans L.C. Partial differential equations. Providence: AMS, 1998. 662 p.

11.   Жиков В.В. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 8. С. 47–84.

12.   Ковалевский А.А. О Γ-сходимости интегральных функционалов, определенных на слабо связанных соболевских пространствах // Укр. мат. журн. 1996. Т. 48, № 5. С. 614–628.

13.   Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. 416 с.

Поступила 28.02.2018

Ковалевский Александр Альбертович 
д-р физ.-мат. наук, профессор,
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург;
Институт естественных наук и математики
Уральского федерального университета, г. Екатеринбург
e-mail: alexkvl71@mail.ru

English

A.A. Kovalevsky. On the convergence of solutions of variational problems with implicit constraints defined by rapidly oscillating functions.

For functionals defined on variable Sobolev spaces, we establish a series of results on the convergence of their minimizers and minimum values on sets of functions subject to implicit constraints by means of periodic rapidly oscillating functions. In connection with the formulation and justification of these results, we introduce the definition of Γ-convergence of functionals corresponding to the given sets of constraints. The specificity of the introduced definition is that it refers to the convergence of a sequence of functionals defined on variable Sobolev spaces to a function on the real line. The considered minimization problems have the feature that, to justify the convergence of a sequence of their solutions, the strong connectedness of the domains of definition of the corresponding functionals is not required, while this connectedness is essential, for instance, in the study of the convergence of solutions of the Neumann variational problems and variational problems with explicit unilateral and bilateral constraints in variable domains. In addition to the mentioned results, we establish theorems on the Γ-compactness of sequences of functionals with respect to the given sets of constraints.

Keywords: variational problem, implicit constraint, variable domains, functional, minimizer, minimum value, Γ-convergence.

The paper was received by the Editorial Office on February, 28, 2018.

Aleksandr Al’bertovich Kovalevsky, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: alexkvl71@mail.ru.