А.А. Махнев, Д.В. Падучих. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {176, 135, 32, 1; 1, 16, 135, 176} ... C. 173-184

УДК 519.17

MSC: 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-173-184

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ, проект 14-11-00061-П.

Дистанционно регулярный граф $\Gamma$ с массивом пересечений $\{176,135,32,1;1,16,135,176\}$  является $AT4$-графом. Его антиподальное частное $\bar \Gamma$ - сильно регулярный граф с параметрами $(672,176,40,48)$. В обоих графах  окрестности вершин сильно регулярны с параметрами $(176,40,12,8)$. В работе получена информация об автоморфизмах указанных графов.  В частности, граф $\Gamma$ не является реберно симметричным. Если $G=\mathrm{Aut}(\Gamma)$ содержит элемент порядка $11$, действует транзитивно на множестве вершин $\Gamma$ и $S(G)$ фиксирует каждый антиподальный класс, то полный прообраз группы $(G/S(G))'$ является расширением группы порядка $3$ с помощью $M_{22}$ или $U_6(2)$. Описаны группы автоморфизмов сильно регулярных графов с параметрами $(176, 40, 12, 8)$ и $(672, 176, 40, 48)$ в вершинно симметричном случае.

Ключевые слова: сильно регулярный граф, дистанционно регулярный граф, автоморфизм графа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Махнев А.А., Падучих Д.В. О сильно регулярных графах с собственным значением μ и их расширениях // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 3. С. 207–214.

2.   Гутнова А.К., Махнев А.А. О графах, в которых окрестности вершин являются псевдогеометрическими графами для GQ(3,3) // Тр. ИМ НАН Беларуси. 2010. Т. 18, № 1. С. 28–35.

3.   Cameron P.J. Permutation groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 220 p. (London Math. Soc. Student Texts; vol. 45).

4.   Brouwer A.E., Haemers W.H. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb. 1993. Vol. 14. P. 397–407. doi: 10.1006/eujc.1993.1044 .

5.   Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol. 311, no. 2-3. P. 132–144. doi: 10.1016/j.disc.2010.10.005 .

6.   Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56,45,1;1,9,56} // Докл. АН. 2010. Т. 432, № 5. С. 512–515.

7.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electr. Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

8.   The GAP Group GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.8.10 [e-resource]. URL: http://www.gap-system.org .

Поступила 26.12.2017

Махнев Александр Алексеевич 
д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН,
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Падучих Дмитрий Викторович
д-р физ.-мат. наук, глав. науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: dpaduchikh@gmail.com

English

A.A. Makhnev, D.V. Paduchikh. Automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {176, 135, 32, 1; 1, 16, 135, 176}

A distance-regular graph $\Gamma$ with intersection array $\{176,135,32,1;1,16,135,176\}$ is an $AT4$-graph. Its antipodal quotient $\bar\Gamma$ is a strongly regular graph with parameters $(672,176$, $40,48)$. In both graphs the neighborhoods of vertices are strongly regular with parameters $(176,40,12,8)$. We study the automorphisms of these graphs. In particular, the graph $\Gamma$ is not arc-transitive. If $G=\mathrm{Aut}\,(\Gamma)$ contains an element of order 11, acts transitively on the vertex set of $\Gamma$, and $S(G)$ fixes each antipodal class, then the full preimage of the group $(G/S(G))'$ is an extension of a group of order 3 by $M_{22}$ or $U_6(2)$. We describe automorphism groups of strongly regular graphs with parameters $(176,40,12,8)$ and $(672,176,40,48)$ in the vertex-symmetric case.

Keywords: strongly regular graph, distance-regular graph, graph automorphism.

The paper was received by the Editorial Office on Dezember 26, 2017.

A.A.Makhnev. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: makhnev@imm.uran.ru

D.V.Paduchikh. Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: dpaduchikh@gmail.com