И.В. Мельникова, Д.И. Сметанников. Исследование уравнений для вероятностных характеристик случайных процессов, заданных стохастическими уравнениями ... С. 185-193

УДК 517.955:519.213:519.217

MSC: 60G15:60H10:60J25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-185-193

Работа выполнена при поддержке Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление №211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт №02.А03.21.0006 от 27.08.2013).

Настоящая работа посвящена сравнению двух подходов к исследованию связи между процессами с заданным набором свойств, определяемых свойствами решений стохастических уравнений со случайностями типа винеровских процессов и уравнениями в частных производных для вероятностных характеристик этих процессов, включая уравнения для плотностей переходных вероятностей. Первый подход основан на применении формулы Ито для диффузионных процессов — решений стохастических уравнений, второй – на свойствах непрерывности процесса и существовании пределов, характеризующих локальное поведение решений стохастического уравнения. В ходе сравнения установлено следующее. В первом подходе для доказательства конкретной связи между коэффициентами стохастического уравнения и соответствующего уравнения в частных производных определяющими являются свойства марковости и мартингальности функций от решения стохастического уравнения. В основе второго подхода лежит существование глобальных моментов первого и второго порядков для решений стохастических задач Коши, которые в случае стохастических уравнений со случайностями типа винеровских процессов, определяют их локальное поведение. В качестве приложения показано моделирование стохастической задачи для некоторой конкретной системы через связь с уравнениями для переходных вероятностей процесса, определяемых статистическими данными.

Ключевые слова: винеровский процесс, марковский процесс, мартингал, формула Ито, уравнение Колмогорова, вероятностные характеристики

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Allen E. Modeling with Ito stochastic differential equations. Dordrecht: Springer, 2007. 230 p. ISBN: 978-1-4020-5953-7 .

2.   Gardiner K. Stochastic methods. A Handbook for the natural and social sciences. Berlin, Heidelberg: Springer, 2004. 440 p. ISBN: 3-540-20882-8 .

3.   Gawarecki L., Mandrekar V. Stochastic differential equations in infinite dimensions with applications to stochastic partial differential equations. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. 291 p.

4.   Melnikova I.V. Stochastic cauchy problems in infinite dimensions. Regularized and generalized solutions. Boca Raton; London: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016, 300 p. ISBN: 1482210509 .

5.   Shreve S. Stochastic calculus for finance II. Continuous-time models. N Y: Springer Verlag, 2004. 550 p. ISBN: 978-0-387-40101-0 .

6.   Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. 612 с.

7.   Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Едиториал УРСС, 2008. 448 c.

8.   Дубко В.А. Карачанская Е.В. Стохастические первые интегралы, ядра интегральных инвариантов и уравнения Колмогорова // Дальневосточный мат. журн. 2014. Т. 14, № 2. C. 200–216.

9.   Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи мат. наук. 1938. № 5. 41 c.

10.   Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, АСТ, 2003. 408 c.

11.   Розанов Ю. А. Случайные процессы. М.: Наука. Главная редакция физ-мат. литературы, 1971. 228 с.

Поступила 29.03.2018

Мельникова Ирина Валерьяновна
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры мат. анализа Института естественных наук и математики
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: irina.melnikova@urfu.ru

Сметанников Даниил Ильич,
магистрант Института естественных наук и математики
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: smetannikovdi@yandex.ru

English

I.V. Melnikova, D.I. Smetannikov. The study of equations for probability characteristics of random processes described by stochastic equations.

The paper is devoted to the comparison of two approaches to investigating the relationship between processes with a given set of properties determined by properties of solutions to stochastic equations with Wiener-type randomness and partial differential equations for probabilistic characteristics of these processes, including equations for densities of transition probabilities. The first approach is based on the application of the Ito formula for diffusion processes, which are solutions of stochastic equations, whereas the second approach employs the continuity properties of the process and the existence of limits characterizing the local behavior of solutions to stochastic equations. In the course of the comparison, the following is established. In the first approach, in the proof of the relationship between the coefficients of the stochastic equation and the coefficients of the corresponding partial differential equation, the key role is played by the Markov and martingale properties of functions of solutions to stochastic equations. The second approach is based on the existence of global moments of the first and second order for solutions of stochastic Cauchy problems, which in the case of stochastic equations with Wiener-type randomness define their local behavior. As an application, we model a stochastic problem for a specific system using the connection with equations for the transition probabilities of the process determined by statistical data.

Keywords: Wiener process, Markov process, martingale, Ito formula, Kolmogorov equation, probability characteristics.

The paper was received by the Editorial Office on March 29, 2018.

Irina Valeryanovna Melnikova, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Institute of Natural Sciences and Mathematics Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: irina.melnikova@urfu.ru.

Daniil Il’ich Smetannikov, graduate student, Institute of Natural Sciences and Mathematics Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: smetannikovdi@yandex.ru.