И.А. Маткин. Классы Камерона - Либлера прямых в PG(n, 5) ... С. 158-172

УДК 514.146

MSC: 51E20, 05B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-158-172

Работа выполнена при поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-301-50004 “мол_нр”.

Классом Камерона - Либлера прямых с параметром $x$ в конечной проективной геометрии $\mathrm{PG}(n, q)$ размерности $n$ над полем из $q$ элементов называется множество $\mathcal{L}$ прямых такое, что любая прямая $\ell$ пересекает $x (q + 1) + \chi_{\mathcal{L}}(\ell) (q^{n-1} + \dots + q^2 - 1)$ прямых из $\mathcal{L}$, где $\chi_{\mathcal{L}}$ - характеристическая функция множества $\mathcal{L}$. Обобщенная гипотеза Камерона - Либлера утверждает, что при $n > 3$ все классы Камерона - Либлера известны и имеют в некотором смысле тривиальное строение (а именно, с точностью до дополнения, пустое множество, пучок прямых через точку, все прямые гиперплоскости и объединение двух последних для неинцидентных точки и гиперплоскости). Справедливость гипотезы была ранее подтверждена другими авторами для случаев $q = 2, 3, 4$. В данной работе описывается подход, позволяющий доказать справедливость гипотезы при заданном $q$ в предположении, что все классы Камерона - Либлера в $\mathrm{PG}(3, q)$ известны. С помощью этого подхода доказана справедливость обобщенной гипотезы Камерона - Либлера в случае $q = 5$.

Ключевые слова: конечная проективная геометрия, классы Камерона - Либлера прямых.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Cameron P.J., Liebler R. A. Tactical decompositions and orbits of projective groups // Linear Algebra Appl. 1982. Vol. 46. P. 91–102. doi: 10.1016/0024-3795(82)90029-5 .

2.   Bamberg J., Penttila  T. Overgroups of cyclic Sylow subgroups of linear groups // Comm. Alg. 2008. Vol. 36, no. 7. P. 2503–2543. doi: 10.1080/00927870802070108 .

3.   Penttila T. Cameron-Liebler line classes in PG(3,q) // Geom. Dedicata. 1991. Vol. 37, no. 3. P. 245–252. doi: 10.1007/BF00181401 .

4.   Drudge K. On a conjecture of Cameron and Liebler // European J. Combin. 1999. Vol. 20, no. 4. P. 263–269. doi: 10.1006/eujc.1998.0265 .

5.   Bruen A.A., Drudge K. The construction of Cameron–Liebler line classes in PG(3,q) // Finite Fields Appl. 1999. Vol. 5, no. 1. P. 35–45. doi: 10.1006/ffta.1998.0239 .

6.   A new family of tight sets in $Q^+(5,q)$ / J. De Beule, J. Demeyer, K. Metsch, M. Rodgers // Des. Codes Cryptogr. 2016. Vol. 78, no. 3. P. 655–678. doi: 10.1007/s10623-014-0023-9 .

7.   Feng T., Momihara K., Xiang Q. Cameron–Liebler line classes with parameter $x = (q^2-1)/2$ // J. Combin. Theory Ser. A. 2015. Vol. 133. P. 307–338. doi: 10.1016/j.jcta.2015.02.004 .

8.   Gavrilyuk A.L., Matkin I., Penttila T. Derivation of Cameron–Liebler line classes // Des. Codes Cryptogr. 2018. Vol. 86, no. 1. P. 231–236. doi: 10.1007/s10623-017-0338-4 .

9.   Gavrilyuk A.L., Metsch K. A modular equality for Cameron–Liebler line classes // J. Combin. Theory Ser. A. 2014. Vol. 127. P. 224–242. doi: 10.1016/j.jcta.2014.06.004 .

10.   Govaerts P., Penttila T. Cameron–Liebler line classes in PG(3,4) // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2006. Vol. 12, no. 5. P. 793–804 .

11.   Rodgers M. Cameron-Liebler line classes // Des. Codes Cryptogr. 2013. Vol. 68, no. 1–3. P. 33–37. doi: 10.1007/s10623-011-9581-2 .

12.   Drudge K. Extremal sets in projective and polar spaces: Thesis (Ph.D.)–The University of Western Ontario (Canada). 1998. 111 p.

13.   Gavrilyuk A.L., Mogilnykh I.Yu. Cameron–Liebler line classes in PG(n,4) // Des. Codes Cryptogr. 2014. Vol. 73, no. 3. P. 969–982. doi: 10.1007/s10623-013-9838-z .

14.   Gavrilyuk A.L., Matkin I. Cameron–Liebler line classes in PG(3,5) [e-resource]. 19 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1803.10442.pdf .

Поступила 16.02.2018

Маткин Илья Александрович
старший преподаватель
Челябинский государственный университет
e-mail: ilya.matkin@gmail.com

English

I.A. Matkin. Cameron–Liebler line classes in PG(n, 5)

A Cameron-Liebler line class with parameter $x$ in a finite projective geometry PG$(n, q)$ of dimension $n$ over a field with $q$ elements is a set $\mathcal{L}$ of lines such that any line $\ell$ intersects $x(q+1)+\chi_{\mathcal{L}}(\ell)(q^{n-1}+\dots+q^2-1)$ lines from $\mathcal{L}$, where $\chi_{\mathcal{L}}$ is the characteristic function of the set $\mathcal{L}$. The generalized Cameron-Liebler conjecture states that for $n>3$ all Cameron-Liebler classes are known and have a trivial structure in some sense (more exactly, up to complement, the empty set, a point-pencil, all lines of a hyperplane, and the union of the last two for nonincident point and hyperplane). The validity of the conjecture was proved earlier by other authors for the cases $q=2$, 3, and 4. In the present paper we describe an approach to proving the conjecture for given $q$ under the assumption that all Cameron-Liebler classes in PG$(3,q)$ are known. We use this approach to prove the generalized Cameron-Liebler conjecture in the case $q=5$.

Keywords: finite projective geometry, Cameron-Liebler line classes.

The paper was received by the Editorial Office on February, 16, 2018.

Il’ya Aleksandrovich Matkin, Faculty of Mathematics, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: ilya.matkin@gmail.com.