Е.С. Жуковский, Е.А. Панасенко. О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой ... С. 93-105

УДК 515.124+517.988.6+517.911.5

MSC: 54E35, 54H25, 34K09

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-93-105

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (задание №3.8515.2017/БЧ), Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №17-01-00553, №16-01-00386); исследования в разделах 1, 2 выполнены за счет средств Российского научного фонда (проект №17-11-01168).

Предлагается распространение теоремы Надлера о неподвижной точке многозначного отображения на пространства с векторнозначной метрикой. Под векторнозначной метрикой понимается отображение, обладающее свойствами “обычной” метрики, значениями которого являются элементы линейного нормированного упорядоченного пространства. Доказанный аналог теоремы Надлера применяется к системе интегральных включений в пространстве суммируемых функций. Затем с помощью редукции к системе интегральных включений исследуется краевая задача с многозначными условиями для систем функционально-дифференциальных включений. Получены условия (не содержащие требования выпуклости значений многозначной функции, порождающей оператор Немыцкого) существования решений и даны оценки решений.

Ключевые слова: пространство с векторнозначной метрикой, сжимающее многозначное отображение, неподвижная точка, интегральное включение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ченцов А.Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 304–321. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-304-321 .

2. Ченцов А.Г. Об одной модификации метода программных итераций // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1076–1086.

3. Забрейко П.П., Макаревич Т.А. Об одном обобщении принципа Банаха - Каччиополли на операторы в псевдометрических пространствах // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 9. С. 1497–1504.

4. Перов А.И. Многомерная версия принципа обобщённого сжатия М. А. Красносельского // Функц. анализ и его приложения. 2010. Т. 44, № 1. С. 83–87. doi: 10.4213/faa2953 .

5. Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Изв. вузов. Математика. 2016. № 10. С. 14–28.

6. Жуковский Е.С. О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. 2016. Т. 21, № 2. С. 375–379. doi: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-375-379 .

7. Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 2. С. 297–311.

8. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. М.: Либроком, 2011. 224 с.

9. Функциональный анализ / ред. С.Г. Крейн. М.: Наука, 1972. 544 с.

10. Азбелев Н.В.,Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.

12. Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальное включение с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. 2005. № 1. С. 3–20.

Поступила 09.10.2017

Жуковский Евгений Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
директор НИИ математики, физики и информатики
ТГУ имени Г.Р. Державина, г. Тамбов
ведущий научный сотрудник
Математический институт им. С.М. Никольского РУДН, г. Москва
e-mail: zukovskys@mail.ru

Панасенко Елена Александровна
канд. физ.-мат. наук, доцент
зав. кафедрой функционального анализа
ТГУ имени Г.Р. Державина, г. Тамбов
e-mail: panlena_t@mail.ru

English

E. S. Zhukovskii, E.A. Panasenko. On fixed points of multivalued mappings in spaces with a vector-valued metric.

Nadler’s theorem on a fixed point of a multivalued mapping is extended to spaces with a vector-valued metric. A vector-valued metric is understood as a mapping with the properties of a usual metric and values in a linear normed ordered space. We prove an analog of Nadler’s theorem and apply it to a system of integral inclusions in a space of summable functions. Then we study a boundary value problem with multivalued conditions for systems of functional differential equations by means of reduction to a system of integral inclusions. Conditions for the existence of solutions are obtained and estimates of the solutions are given. The existence conditions do not contain the convexity requirement for the values of the multivalued function generating a Nemytskii operator.

Keywords: space with a vector-valued metric, contracting multivalued mapping, fixed point, integral inclusion.

The paper was received by the Editorial Office on October 9, 2017.

Evgenii Semenovich Zhukovskiy, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Research Institute of Mathematics,
Physics, and Computer Sciences, Tambov Derzhavin State University, Tambov, 392000 Russia;
Nikol’skii Mathematical Institute, RUDN University, Moscow, 117198 Russia,
e-mail: zukovskys@mail.ru .

Elena Aleksandrovna Panasenko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), docent, Functional Analysis Department,
Tambov Derzhavin State University, Tambov, 392000 Russia,
e-mail: panlena_t@mail.ru .