А. В. Дмитрук, Н. П. Осмоловский. Вариации типа $v$-замены времени в задачах с фазовыми ограничениями ... С. 76-92

УДК 517.97

MSC:  49K15

DOI:  10.21538/0134-4889-2018-24-1-76-92

Полная версия статьи

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 16-01-00585 и 17-01-00805).

Для общей задачи оптимального управления с фазовым ограничением предлагается доказательство принципа максимума  с помощью $v$-замены времени $t \mapsto \tau,$ при которой исходное время становится еще одной фазовой переменной, подчиненной уравнению $dt/d\tau = v(\tau),$ а дополнительное управление $v(\tau)\ge 0$ кусочно-постоянно, и его значения служат аргументами новой задачи. Фазовое ограничение порождает континуум ограничений неравенства в этой задаче, поэтому необходимые условия экстремума в ней содержат меру. Переписав эти условия в терминах исходной задачи, мы получаем непустой компакт из наборов множителей Лагранжа, которые обеспечивают выполнение принципа максимума на конечном множестве значений управления и времени, соответствующем данной $v$-замене. Компакты, порожденные всевозможными кусочно-постоянными  $v$-заменами, частично упорядочены по включению, и поэтому образуют центрированную систему. Взяв любой элемент из их пересечения, мы получаем единое условие оптимальности, в котором принцип максимума выполнен для всех значений управления и времени.

Ключевые слова: принцип максимума Понтрягина, $v$-замена времени, фазовое ограничение, полубесконечная задача, множители Лагранжа, мера Лебега - Стилтьеса, функция ограниченной вариации, конечнозначное условие максимума, центрированная система компактов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1969. 393 p.

2.   Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1965. Т. 5, № 3. С. 395–453.

3.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 p.

4.   Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. M.: Изд-во мехмата МГУ, 2004. 168 с.
(Доступно на: http://www.math.msu.su/department/opu/node/139).

5.   Оптимальное управление / Э. М. Галеев, М.И. Зеликин, С.В. Конягин [и др.]; под ред. Н. П. Осмоловского, В. М. Тихомирова. М.: МЦНМО, 2008. 320 c. ISBN 978-5-94057-367-8 .

6.   Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Теория принципа максимума // Методы теории экстремальных задач в экономике: сб. ст. / В.Л. Левин. М.: Наука, ЦЭМИ, 1981. С. 6–47.

7.   Гирсанов И.В. Лекции по теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1970. 122 c.

8.   Милютин А.А. Принцип максимума в регулярной задаче оптимального управления: в кн.: Необходимое условие в оптимальном управлении / Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. M.: Наука, 1990. 320 с. ISBN 5-02-006708-3 .

9.   Милютин А.А. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления. М., Физматлит, 2001. 303 с. ISBN: 5-9221-0114-5 .

10.   Милютин А.А. Общие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления // Успехи мат. наук. 1970. Т. 25, № 5 (155). С. 110–116.

11.   Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974. 481 p.

12.   Арутюнов А.В. Принцип максимума Понтрягина в теории оптимального управления // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 1997. Т. 42.

13.   Vinter R.B., Zheng H. Necessary conditions for optimal control problems with state constraints // Transactions of AMS. 1998. Vol. 350, no. 3. P. 1181–1204.

14.   Bourdin L. Note on Pontryagin maximum principle with running state constraints and smooth dynamics – Proof based on the Ekeland variational principle [e-resource]. 26 p.
URL: https://arxiv.org/pdf/1604.04051.pdf .

15.   Bonnans J.F. Course on optimal control [e-resource]. OROC Ensta, Paris-Tech, 2017.
URL: http://www.cmap.polytechnique.fr/~bonnans/notes/oc/oc.html 

16.   Arutyunov A.V., Karamzin D.Y., Pereira F.L. The maximum principle for optimal control problems with state constraints by R.V. Gamkrelidze: revisited // JOTA. 2011. Vol. 149, no. 3. P. 474–493. doi: https://doi.org/10.1007/s10957-011-9807-5 .

17.   Dmitruk A.V., Samylovskiy I.A. On the relation between two approaches to necessary optimality conditions in problems with state constraints // JOTA. 2017. Vol. 173, no. 2. P. 391–420.
doi: https://doi.org/10.1007/s10957-017-1089-0.

18.   Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Трансляции уравнений Эйлера // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, № 6. С. 1263–1284.

19.   Dmitruk A.V. On the development of Pontryagin’s Maximum principle in the works of A.Ya. Dubovitskii and A.A. Milyutin // Control and Cybernetics. 2009. Vol. 38, no. 4a. P. 923–958.

20.   Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. О доказательстве принципа максимума Понтрягина с помощью игольчатых вариаций // Фундам. и прикл. математика. 2014. Т. 19, № 5. С. 49–74.

21.   Dmitruk A.V., Osmolovskii N.P. Necessary conditions for a weak minimum in optimal control problems with integral equations subject to state and mixed constraints // SIAM J. Control Optim. 2014. Vol. 52, no. 6. P. 3437–3462. doi: https://doi.org/10.1137/130921465.

Поступила 26.07.2017

Дмитрук Андрей Венедиктович 
д-р физ.-мат. наук, вед. научный сотрудник ЦЭМИ РАН,
проф. МГУ им. М.В. Ломоносова, каф. оптимального управления, г. Москва
e-mail: dmitruk@member.ams.org

Осмоловский Николай Павлович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный строительный университет, каф. прикладной математики,
г. Москва;
Университет технических и гуманитарных наук, г. Радом, Польша
e-mail: osmolovski@uph.edu.pl

English

A.V. Dmitruk, N.P. Osmolovskii. Variations of the  $v$-change of time  in problems with state constraints.

For a general optimal control problem with a state constraint, we propose a proof of the maximum principle based on a $v$-change of the time variable $t\mapsto \tau,$ under which the original time becomes yet another state variable subject to the equation $dt/d\tau = v(\tau),$ while the additional control $v(\tau)\ge 0$ is piecewise constant and its values are arguments of the new problem. Since the state constraint generates a continuum of inequality constraints in this problem, the necessary optimality conditions involve a measure. Rewriting these conditions in terms of the original problem, we get a nonempty compact set of collections of Lagrange multipliers that fulfil the maximum principle on a finite set of values of the control and time variables corresponding to the $v$-change. The compact sets generated by all possible piecewise constant $v$-changes are partially ordered by inclusion, thus forming a centered family. Taking any element of their intersection, we obtain a universal optimality condition, in which the maximum principle holds for all values of the control and time.

Keywords: Pontryagin maximum principle, $v$-change of time, state constraint, semi-infinite problem, Lagrange multipliers, Lebesgue-Stieltjes measure, function of bounded variation, finite-valued maximum condition, centered family of compact sets.

The paper was received by the Editorial Office on July 26, 2017.

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 16-01-00585 и 17-01-00805).

Andrei Venediktovich Dmitruk, Dr. Phys.-Math. Sci., Central Economics and Mathematics Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 117418 Russia; Dept. of Optimal Control, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: dmitruk@member.ams.org .

Nikolai Pavlovich Osmolovskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Dept. of Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering, Moscow, 129337 Russia; of Informatics and Mathematics, University of Technology and Humanities in Radom, Poland, e-mail: osmolovski@uph.edu.pl .