А.И. Короткий, А.Л. Литвиненко. Разрешимость одной смешанной краевой задачи для стационарной модели реакции-конвекции-диффузии ... С. 106-120

УДК 517.9

MSC: 35J25, 76D03, 76R10, 86A04

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-106-120

Исследуется разрешимость неоднородной смешанной краевой задачи для модели стационарной реакции-конвекции-диффузии. Такие модели часто используются в науке и технике при описании и исследовании различных процессов тепломассопереноса. Основное внимание уделяется вопросам разрешимости краевой задачи в различных функциональных пространствах, вопросам устойчивости и непрерывной зависимости решения задачи от исходных данных задачи в естественных метриках. Особенность краевой задачи состоит в неоднородности и нерегулярности смешанных граничных данных. Такие граничные данные нельзя, вообще говоря, продолжить внутрь области так, чтобы продолжение было достаточно гладким и его можно было бы использовать известным способом для преобразования задачи к однородным граничным данным. Для доказательства разрешимости задач используется теорема Лакса-Мильграмма, из этой же теоремы следуют оценки норм решения. Установлены также варианты полной непрерывности оператора решения. Найденные свойства решений прямой задачи в дальнейшем будут использоваться при решении обратных задач.

Ключевые слова: прямая задача, смешанное граничное условие, слабое решение, обобщенное решение, сильное решение, устойчивость, полная непрерывность оператора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 319 с.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

4. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

5. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 1961. 203 с.

6. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.

7. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

8. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.

9. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

10. Короткий А.И., Ковтунов Д.А. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12, № 2. С. 88–97.

11. Короткий А.И., Стародубцева Ю.В. Прямые и обратные задачи для моделей стационарной реакции-конвекции-диффузии // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 98–113.

12. Короткий А.И., Стародубцева Ю.В. Моделирование прямых и обратных граничных задач для стационарных моделей тепломассопереноса. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2015. 168 с.

13. Adams R.A. Sobolev spaces. New York: Academic Press, 1975. 268 p.

14. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

15. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

16. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: Физматлит, 1959. 657 с.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.: Наука, 1972. 496 с.

18. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС, 2004. 896 с.

Поступила 25.08.2017

Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru

Литвиненко Анастасия Леонидовна
магистрантка
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: a.litvinenko114@yandex.ru

English

A.I. Korotkii, A.L. Litvinenko. Solvability of a mixed boundary value problem for a stationary reaction–convection–diffusion model.

We study the solvability of an inhomogeneous mixed boundary value problem for a stationary reaction–convection–diffusion model. Such models are often used in science and engineering for the description and analysis of various processes of heat and mass transfer. We focus on the issues of solvability of the boundary value problem in various functional spaces and on the stability of the solution and its continuous dependence on the input data in natural metrics. The peculiarity of the problem consists in the inhomogeneity and irregularity of the mixed boundary data. These boundary data, in general, cannot be continued inside the domain so that the continuation is sufficiently smooth and can be used in the known way to transform the problem to homogeneous boundary data. To prove the solvability of the problem, we use the Lax–Milgram theorem. Estimates for the norms of the solution follow from the same theorem. The properties of the solution of the direct problem found in this study will be used in what follows to solve inverse problems.

Keywords: direct problem, mixed boundary condition, weak solution, generalized solution, strong solution, stability, completely continuous operator.

The paper was received by Editorial Office on August 25, 2017.

Aleksandr Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics
and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia;
Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia; e-mail: korotkii@imm.uran.ru.

Anastasia Leonidovna Litvinenko, graduate student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002
Russia; e-mail: a.litvinenko114@yandex.ru.